PROBLEMAS PROPUESTOS BERNUILLI 1. Por un tubo
Venturi que tiene un diámetro de 25 cm en la sección de entrada y de 2000 mm en
la sección más angosta, circula un aceite mineral de densidad relativa 0,80. La
caída de presión entre la sección mayor y la de la garganta, medida en el
aparato, es de 0,90 lbf/cm2. Hállese el valor del
caudal en m3/s. 2. Un tubo Venturi puede utilizarse como un medidor de flujo
de líquido (ver figura). Si la diferencia en la presión P1 - P2 = 15 kPa,
encuentre la tasa de flujo del fluido en Ft3/s dado que el radio del tubo de
salida es 2.0 cm el radio del tubo de entrada es 4.0 cm y el fluido es gasolina
(densidad igual a 700 Kg/m3).
Por un tubo Venturi que tiene un diámetro de 0,5 m en la sección de entrada y
de 0,01 m en la sección de salida, circula gasolina de densidad relativa 0,82.
Si el gasto volumétrico es de 15 Ft 3/min. Determínese la caída de presión entre
la sección mayor y la de la garganta,medida Lbf/pulg2.
Un ingeniero debe diseñar una reducción para un
sistema de transmisión de aceite combustible grado 1 cuya gravedad específica
es de 0,825. A continuación se presentan las características que debe presentar
el mencionado diseño: Relación de diámetro: 6 [D1/D2] Relación entre la presión
de entrada y salida: 5 [P1/P2] Gasto volumétrico que debe manejarse: 6 m3/h
Presión a la entrada: 100 Pa [Pascales]
ï‚· ï‚· ï‚· ï‚·
Calcúlese los diámetros en centímetros de la entrada y salida de la reducción
5 A continuación se presenta una configuración experimental (Tubo Venturi) para
cuantificar el gasto volumétrico que discurre a través de una tubería de
sección transversal circular. Demuéstrese que el caudal esta dado por la
siguiente expresión
6 Por el conducto horizontal de la figura de diámetro interno D circula un
caudal de agua Q de izquierda a derecha. Para obtener el valor del caudal se dispone de una
placa orificio dediámetro interno d, en cuyos extremos se conecta un manómetro
diferencial de mercurio tal y como
se muestra en la figura. Este manómetro proporciona una
diferencia de alturas en el mercurio de valor h1. Por otra parte, se
dispone de un tubo de Pitot aguas abajo de la placa orificio para medir el
valor local de la velocidad, en una zona de la tubería donde el efecto de “vena
contracta” aún provoca una disminución de la sección efectiva de paso del
fluido. Este tubo de Pitot se encuentra conectado a
otro manómetro de mercurio que proporciona una diferencia de alturas de valor
h2. Se pide: 1) Calcular el valor del caudal real Qr que circula por
la tubería. 2) Estimar a partir del valor de Qr y de la lectura
del Pitot el diámetro de la “vena contracta” d’ en la sección de la tubería en
la que se encuentra localizado el tubo de Pitot. Para ello se puede considerar
que el perfil de velocidad en la zona de la vena es aproximadamente uniforme.
Observación Modelos Matemáticos
Fenómeno físico
No Satisfacen el problema real
Solución con condiciones observables
Si
Solución
Fig. 1.- Diagrama que ilustra el empleo de las Ecuaciones Diferenciales en la
física
3
Ecuaciones diferenciales.Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación
que relaciona a una función, a su variable o variables independientes, y a sus
derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable
independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria
(E.D.O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables
independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.).
Clasificación y orden de una E.D. ï‚· Orden de las E.D.
El orden de una E.D.O. esta dado por el orden de la derivada de más alto valor,
la manera más general de representarla es: , , ′ , … , =0 1
Lo cual nos describe una E.D.O. de orden n. la ecuación (1) representa una
relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus
n primeras derivadas, si convenientemente decimos que = pudiendo rescribir (1)
como , , ′, … , = 0 Un ejemplo entonces de una ecuación diferencial de
orden 3 será ′′′ + 2 ′′ + ′ = 4 Una
ecuación diferencial parcial para una función , , … con derivadas parciales , ,
, , , … es una relación de la forma , , , , , , , … = 0 3 2
Donde F es una función de las variables , , … , , , , , , , … en donde
solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función , , … es
solución de (3), si en algún espacio de sus variables independientes, la
función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en , , …
4
Como en las E.D.O. una E.D.P. es de orden n, si las derivadas de mayor orden
queocurren en F son de orden n. las ecuaciones diferenciales parciales se
clasifican también según el tipo de función F considerada. En particular
tenemos la E.D.P. lineal si F es lineal en la función incógnita y sus
derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es más general, si
F es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden.
ï‚· Clasificación.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican según su tipo de orden y
linealidad. Se llama solución (o integral) de la E.D.O. a cualquier función =
() que introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Tipos de
soluciones: ï‚· ï‚· Explicitas: la variable dependiente de y se expresa tan
solo en términos de la variable independiente x y constantes. Implícitas: se
trata de una relación , = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones
elementales. Son soluciones todas las () que cumplen , = 0.
Una E.D.O puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a
las posibles elecciones de valores para los parámetros. Para las E.D.P. la
clasificación es un poco distinta, para sistemas de E.D.P. de segundo orden con
dos variables por ejemplo la ecuación diferencial puede ser expresada como: Sea
(, ) con x e y variables independientes se llama ecuación con derivadas
parciales de segundo orden si , , , , , , = 0 Donde: =
4
2 2
, =
, =
2
, = 2
2
= =
. De manera similar se
sigue para mas variables independientes. Anteriormente dijimos que una ecuación
se llama lineal conrespecto a las derivadas de orden mayor si 2 2 2 + 2 + 2 + ,
, , = 0 2 (5)
donde los coeficientes a,b,c son funciones de las variables independientes que
admiten desarrollos en series de Taylor
y no se anulan simultáneamente.
5
Si los coeficientes a,b,c dependen no solo de x e y, sino que son al igual que
f funciones de , , , , entonces tal ecuación se denomina cuasi lineal. La
ecuación se llama lineal, si es lineal tanto respecto a las derivadas de orden
mayor, como a la función u y a sus primeras derivadas; es decir: 2 2 2 + 2 + 2
+ + + + = 0 2 6
donde , , , , , , son funciones solo de x e y. Si los coeficientes de la
ecuación 6 no dependen de e , esta es una ecuación lineal con coeficientes
constantes. La ecuación se llama homogénea, si , = 0. Como la ecuación (6) es
de segundo orden, siempre es posible reducir los coeficientes de las derivadas
de segundo orden a constantes muy simples mediante un cambio de coordenadas
definidas por un sistema de ecuaciones de la forma = , = , , ≠0 (, ) 7
Tal que (6) en las nuevas coordenadas es equivalente a una de los siguientes
tipos de ecuaciones
