DINAMICA DE LOS FLUIDOS
INTRODUCCION

La dinamica de los fluidos es el estudio de un fluido en movimiento y de las fuerzas que lo producen.

Una de las formas de describir el movimiento de un fluido fue desarrollado por Lagrange (1707 -1813) y es una generalización directa de los conceptos de la mecanica de las partículas, pero algo complicado

Otra forma mas conveniente de analizar el movimiento de los fluidos fue desarrollada por Leonard Euler (1707-1813), en él se especifica la densidad y velocidad del fluido en cada punto del espacio y en cada instante.

CLASIFICACION DE LOS FLUJOS

Al movimiento de un fluido se le llama flujo.

Los flujos pueden clasificarse de diversas formas, una de ellas es
a) viscoso y no viscoso b) laminar y turbulento c) permanente y no permanente
d) incompresible y compresible e) irrotacional y rotacional f) unidimensional

Flujo viscoso: es aquel en el cual los efectos viscosos, es decir, el roce, son importantes.

Flujo laminar: el fluido se mueve en laminas o capas paralelas.

Flujo turbulento: las partículas fluidas se mueven siguiendo trayectorias muy irregulares.

Flujo permanente: las propiedades y características del flujo son independientes del tiempo. Esto significa que no hay cambios en las propiedades y características del flujo en un punto al transcurrir eltiempo, pero si puede haber cambio de un punto a otro del espacio.

Flujo incompresible : son aquellos flujos en los cuales las variaciones de la densidad son pequeñas y pueden despreciarse, luego la densidad es constante.

Flujo irrotacional : es aquel flujo en el cual un elemento de fluido en cada punto del espacio no tiene velocidad angular respecto de ese punto.

Flujo unidimensional : es aquel en el cual pueden despreciarse las variaciones de las propiedades del flujo en dirección perpendicular a la dirección principal del flujo; otra forma de definirlo es la siguiente: todas las propiedades y características del flujo depende de sólo una variable espacial.

De acuerdo a la clasificación anterior, un flujo puede ser por ejemplo: no viscoso permanente, incompresible; viscoso laminar.

FLUIDO IDEAL

El concepto de Fluido ideal es útil en el estudio de la dinamica de fluidos. Se trata de un fluido imaginario que no ofrece resistencia al desplazamiento (no viscoso), es permanente, irrotacional, no se comprime y es unidimensional.

Definiremos a continuación los conceptos de línea de corriente y tubo de corriente o vena líquida.

LINEA DE CORRIENTE

Un flujo se representa comúnmente en forma grafica mediante líneas de corriente, A la trayectoria seguida por una partícula de un líquido en movimiento se le llama línea de corriente, estas soncurvas tales que la velocidad es tangente a ella en cada punto.

Tubo de Corriente

Es un conjunto de líneas de corriente que pasan por el contorno de un area pequeñísima (infinitesimal dA). De acuerdo a la definición de línea de corriente no hay paso de flujo a través de la superficie lateral del tubo de corriente .

CAUDAL

Se define como caudal volumétrico (Q) al cuociente entre el volumen (V) que pasa por una determinada sección o area y el tiempo (t) que demora en pasar ese volumen.

Así por ejemplo si 20 litros de un líquido atraviesan una sección en 4 (s), entonces el caudal es de:
[pic]

Esta expresión de caudal puede tomar otra forma, para eso se supone que la velocidad es la misma para todos los puntos de la sección ó area A,

Si v es la velocidad con que el líquido atraviesa la sección A, la distancia [pic] que recorre en un intervalo de tiempo (t es equivalente a la distancia [pic]

Por otra parte, el volumen lo podemos expresar como el de un cilindro de base A y altura [pic], luego la expresión para el caudal sera:

[pic]
Es decir el caudal de líquido que atraviesa la sección A en un tiempo (t puede también ser expresado como el producto entre la velocidad (rapidez V) por la sección o area que atraviesa.
[pic]
La forma que toma el principio de conservación de la masa enun fluido en movimiento en régimen permanente, unidimensional, incompresible, irrotacional y no viscoso, es decir, de un fluido ideal, es la Ecuación de Continuidad.

ECUACION DE CONTINUIDAD

Como no puede haber paso de fluido a través del tubo de corriente y ademas si no hay fuentes ni sumideros dentro del tubo, el caudal volumétrico ( Q) a la entrada y salida del tubo es el mismo, luego se tiene que:

El producto A v es constante

Esto significa que para un caudal determinado, la rapidez con que se desplaza el líquido es mayor en las secciones mas pequeñas. Sección y velocidad son inversamente proporcionales.

De acuerdo con la ecuación de continuidad para flujo compresible
Qentrante = Qsaliente

De un modo similar se puede establecer que la masa que pasa por unidad de tiempo debe permanecer constante. Esto se conoce como caudal masico ([pic] )
Se puede demostrar que el caudal masico también es igual al producto entre la densidad, la rapidez y el area de la sección, es decir, ( A v

Como el caudal masico es el mismo en la sección 1 y 2, entonces se tiene que :

(1 A1 v1 = (2 A2 v2

Esta es la ecuación de continuidad para un flujo permanente

ECUACION DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL

La ecuación de Bernoulli es una ecuación fundamental de la dinamica de los fluidos ideales y es unaforma de la conservación de la energía mecanica aplicada a la circulación de un líquido ideal en estado estacionario o permanente; fue deducida por Daniel Bernoulli en 1738.

Su uso en el estudio de la circulación sanguínea es de bastante importancia.
Para determinar la expresión que entrega la ecuación de Bernoulli, consideremos un flujo no viscoso, permanente e incompresible de un fluido que circula por una tubería o un tubo de corriente como se muestra en la figura a).

Fijaremos la atención no sólo en la masa de fluido que esta dentro del tubo limitada por las secciones transversales A1 y A2 , sino que también en la masa de fluido [pic] que esta a punto de entrar al tubo a través de A1 ; al conjunto se le llamara ''sistema'' .

En un intervalo [pic] ha salido del tubo una masa (m pues el flujo masico es constante y el sistema toma la forma que muestra la figura b

De acuerdo al teorema del trabajo y la energía, se sabe que el trabajo neto realizado sobre el sistema es equivalente a la variación de la energía cinética.

PARA EL ANALISIS QUE SE HACE TENEMOS QUE, COMO EL FLUJO NO ES VISCOSO, LAS ÚNICAS FUERZAS QUE REALIZAN TRABAJO SOBRE EL SISTEMA SON EL PESO Y LAS FUERZAS DEBIDA A LA PRESIÓN QUE EJERCE EL FLUIDO QUE RODEA AL SISTEMA.

Llamemos WP el trabajo neto realizado por las fuerzas de presión, entonces se tiene que

[pic]
Como elpeso es una fuerza conservativa, [pic] luego

[pic] (I)
Donde (K corresponde a la variación de la energía cinética y (U corresponde a la variación
de la energía potencial.

El término de la izquierda en la ecuación (I) corresponde al trabajo total de la presión, es decir :

P1A1 (L1 – p2 A2(L2 = (p1 – p2 ) [pic] (a)

Esto es así ya que:

A1 (X1 = A2(x2 = VOLUMEN = [pic] ; el fluido es incompresible para un intervalo de tiempo, el volumen que pasa la sección 1 es la misma que en la sección 2.
El término de la derecha en la ecuación (I) se puede expresar como

[pic] (B)

De las expresiones de A y B se tiene que:

[pic]
Y finalmente, ordenando se obtiene la siguiente ecuación:

[pic] ECUACION DE BERNOULLI

Esta es la Ecuación de Bernoulli para un flujo permanente, no viscoso, incompresible entre dos puntos cualesquiera ubicados sobre una misma línea de corriente.

Como los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera en el tubo, puede escribirse que :
[pic]

En la ecuación de Bernoulli, cada término tiene dimensión de presión

El término p corresponde a lo que se llama presión estatica.
El término 1/2(v2 es lo se llama presión dinamica.
El termino (gh corresponde a la presión debida a la columna de líquido
Esta ecuación se aplica a muchassituaciones en medicina, como son la medida de la presión arterial, la aplicación de presión de aire en los pulmones para respiración artificial, el drenado de líquidos humanos a través de sondas, etcétera.

BERNOULLI CON PERDIDAS

Cuando se considera las pérdidas que sufre la energía debido al roce dentro de la tubería como también a obstaculos que pudiera haber al interior de ella como por ejemplo bifurcaciones, codos, valvulas etc. ,la ecuación anterior sufre modificaciones, es decir la energía no se conserva, entonces:

p1 + ( g h1 + ½ [pic] = p2 + ( g h2 + ½ [pic] + PERDIDAS
o bien
[pic]
Para una tubería horizontal de diametro constante que conduce líquido, la ecuación de continuidad ( A1v1 = A2 v2 ) nos dice que la rapidez en los puntos 1 y 2 es la misma ya que el area ( ( R2 ) es la misma y la altura también es la misma, luego la ecuación de Bernoulli toma la forma:
p1 = p2 + PERDIDAS ; p1 - p2 = PERDIDAS

Las pérdidas corresponden a la fuerza de roce viscoso [pic] que se opone al movimiento del fluido en la tubería que viene dado por: F= 4(( L vm

Donde vm es el valor medio de la rapidez.

Si consideramos ahora el movimiento de un fluido que circula por una tubería de radio R y consideramos un largo L, se encuentra que la velocidad del fluido real en contacto con la pared de la tubería es cero, y que la parte delfluido que se mueve a lo largo del eje central alcanza una velocidad maxima V.

La figura representa el perfil parabólico de velocidades de un fluido que circula por una tubería de radio R y largo L.

Como el líquido se desplaza con velocidad constante la fuerza de presión( p = Fuerza/Area) debe ser igual a la fuerza de roce viscoso luego:

( p1 – p2 ) (R2 = 4(( L vm ; ( p1 – p2 ) = [pic]

ya que la única fuerza externa que actúa sobre el fluido es la fuerza neta debida a la diferencia o caída de presión en los extremos de la tubería, con p2 menor que p1.

Esta ecuación establece que la cantidad de fluido que circula por una tubería es proporcional a la disminución de la presión a lo largo de la misma y a la cuarta potencia del radio de la tubería, ecuación que es importante para entender correctamente como circula la sangre por el cuerpo.
La ecuación de Poiseuille puede ser escrita como [pic]
donde R = [pic] se le conoce como la resistencia en un solo vaso( la unidad de medida es (Pa.s/m3).
La ecuación para el caudal Q también es valida para una red de vasos interconectados como la de los vasos sanguíneos del sistema circulatorio, s i se considera a R como la resistencia total de la red.

ley de Poiseuille: esta ley establece la dependencia entre el caudal volumétrico Q yla diferencia de presión en una tubería y se puede demostrar que viene dada por:

[pic]
Esta ecuación es importante para entender correctamente como circula la sangre por el cuerpo.

La Ley de Poiseuille y el perfil parabólico de velocidades sólo es valido para velocidades pequeñas. En esta situación el fluido circula en forma de laminas concéntricas y el flujo recibe el nombre de Flujo Laminar.

flujo sanguíneo

La aorta tiene un radio de 9mm por lo que sólo se requiere una diferencia de presión de 3mmHg para mantener en ella un flujo normal de sangre.

Si la presión de la sangre es de 100mm Hg cuando entra a la aorta, se reduce a 97 mm Hg cuando entra en las arterias principales y como el radio de estas es mas pequeño se necesita una caída de 17 mm Hg para que se mantenga el flujo.

Cuando la sangre entra en las pequeñas arterias la presión sólo es de 80 mm Hg y como el radio es mas pequeño se necesita otra caída de presión ahora a 55 mm Hg y cuando pasa a los capilares que tiene un radio mucho mas pequeño la presión desciende a 10mm Hg cuando alcanza las venas

La tabla siguiente muestra los Valores aproximados de caudales y resistencias para un adulto en reposo y tendido. El caudal total de la aorta es 9,7 x 10-5 m3/s y la caída de presión media a través de los hechos es 11,7 kPa ( FISICA DE KANE)

Problema

La aorta de unhombre adulto medio es de 24mm de diametro. Si el caudal en la arteria es de 10 –4 m3/s, calcule la caída de presión y la resistencia al flujo en una distancia de 10cm
Desarrollo:

Para trabajar en un solo sistema de unidades se debe expresar el diametro y la distancia dada en metros.

diametro = 2 radio = 0,024 m radio = R = 0,012 m = 12 x 10-3 m
distancia = 10cm = 0,1 m

Para calcular la caída de presión previo debemos calcular la resistencia al flujo que también es pedida.
R =[pic] R = [pic] R = 2,6 x 104 Pa. s/ m3

La caída de presión en un tramo de 10cm es de (P = R .Q de
(P = 2,6 x 104 . 10-4 Pa.
(P = 2,6 Pa.

EFECTOS DE LA GRAVEDAD EN LA CIRCULACION

Resulta interesante hacer un analisis del sistema que emplea el cuerpo humano para devolver la sangre desde las extremidades inferiores al corazón.

Si se toma la presión en algunas arterias principales a una persona colocada en posición horizontal, se encontrara que esta es practicamente la misma en los pies , en el corazón y en el cerebro, comparada con una persona que se encuentra erguida o de pie, en posición vertical. Esta diferencia se debe a la gran diferencia de altura que hay entre los pies respecto del corazón y del cerebro.

Realizando el analisis, podemos decir que, de acuerdo a laecuación de Bernouilli
[pic] (despreciando los efectos de la viscosidad por ser pequeños), se tiene que el término correspondiente a la presión dinamica, 1/2 ( v2 , en un primer analisis se puede despreciar por ser pequeñas las velocidades en las tres arterias, en consecuencia las presiones manométricas en las tres arterias quedan relacionadas por las siguientes expresiones:

[pic]
donde (, corresponde a la densidad de la sangre(1,0595 gr/cm3 = 1059,5 kg/m3)

Asumiendo que la presión en el corazón es de 100mm de Hg, lo que equivale aproximadamente a 13,3 kPa, entonces la presión en los pies para un hombre que tiene su corazón a una altura de 1,3m es de :

pp = 13300 + 1059,5 * 9.8* 1,3 = 26798 Pa = 26,8 kPa

Asumiendo que el cerebro para un hombre de estatura promedio se encuentra a una altura de 1,7m , entonces la presión en el cerebro sera de:

pp = 26798 Pa = pce + 1059,5 * 9.8* 1,7
pce = 26798 - 17651.2
pce = 9146,7 Pa = 9,15 kPa.

----- ----- -------------
[pic]

[pic]

[pic]

dA

[pic]

A

(l

[pic]

A2

A1

V2

V1

V1

[pic]

[pic]

A2

tubo de corriente

y2

[pic]

A1

(L1

( m

y1

F1=P1A1

(L2

tubo de corriente

( m(

Fig. b

y1

y2

[pic]

F2=p2A2

p1 A1

p2A2

p1( R2

p2( R2

13,1 kPa

13,2 kPa

13,3 kPa

26,8 kPa

13,3 kPa

9,3 kPa