Biografía de Pierre de Fermat.

Pierre de Fermat. Nació en agosto del año 1601, en el sur de Francia, cerca de Montauban. (Gascuña). Hizo la carera de magistrado en Toulouse y Burdeos, poseyó una cultura superior muy completa distinguiéndose por su dedicación a las matematicas en la que ha dejado una obra muy profunda.

Interesado por las matematicas, en 1627, abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matematico Griego Apolunio, relativas a los lugares Geométricos; contemporaneo e independientemente de Rene Descartes, desarrollaría un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas.

También diseñó un algoritmo de diferenciación mediante el cual puede determinar los valores maximos y mínimos de una curva polinómica. Amén de trazar las correspondientes tangentes, todos estos logros abrieron el camino ulterior del calculo infinitesimal planteado por Newton y por Leibniz. Demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, con Blaise Pascal desarrolló los principios de la teoría de la probabilidad.

Otro campo donde realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de los números, empezó a interesarse eneste campo tras consultar una edición de la aritmética de Diofanto. En el margen de una paginas de dicha edición, anotó el celebre teorema que lleva su nombre y que tardaría mas de tres siglos en demostrarse. De su trabajo se derivaron importantes resultados en las propiedades de los números primos, los cuales quedaron expresados en forma de simples proposiciones y teoremas.

También desarrolló un ingenioso método de demostración que denomino “el descenso infinito”.

Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar redujeron en gran medida el impacto de su obra. Muere en castres en el año 1665.

Revisión del trabajo de Descartes.

Rene descartes, nació el 31 de marzo de 1596 en la Playe, Francia. Comenzó su educación a los 8 años. Fue un profundo pensador y critico, ya desde los 14 años comenzó a dudar de la educación que recibía, pues ella se basaba en la lógica escolastica de la Edad Media, la que considero estéril para un espíritu creador.

A loa 18 años se dedicó a disfrutar de los placeres propios de su juventud; pero bien pronto continuó en sus investigaciones especialmente las de caracter matematico.

En el año 1628 decidió retirarse a Holanda, donde encontró la paz y la tranquilidad que necesitaba para dedicarse a sus investigaciones matematicas y filosóficas. En esta época Descartes escribió lamayoría de sus obras, casi todas versadas sobre filosofía, y en las que creo la llamada Filosofía Racionalista.

Descartes no publicaba sus obras porque tenia presente lo que le sucedió a Galileo, quien tuvo que retractarse ante un tribunal por confirmar la teoría de Copernico de que la tierra giraba alrededor del sol.

En el año 1637, decidió publicar una de las obras mas importantes en la historia de las ciencias. “discurso sobre el método de conducir rectamente la razón y buscar la verdad en las ciencias. Ademas la Dióptrica, Meteoros y la Geometría, ensayos en este Método” lo que actualmente se conoce como: “Discurso del Método”.

Descartes expone en este libro sus investigaciones y teorías filosóficas, como anexo de esta obra, aparecen dos de sus ensayos mas importantes de caracter científicos: la teoría de ondulatoria de la luz y la Geometría Analítica, su mas grande contribución a la matematica.

La Geometría Analítica, en esencia, se puede describir como sigue
Si se consideran dos rectas perpendiculares en el plano, llamado sistema de referencia, todo punto del mismo se puede describir respecto a estos ejes considerando las distancias del punto a dos ejes: coordenadas del punto. Si suponemos que el punto se mueve, determina una curva en el plano, entonces se puede construir una ecuación que es la formula de todos los puntos dela curva. Lo importante es que si se da una ecuación entre dos variables, ellas, referidas a un sistema de referencia en el plano nos describe una curva y entonces podemos estudiar e interpretar propiedades de la curva Geométricamente.

Si entonces, deseamos resolver algún problema, primero suponemos que ya disponemos del problema y damos nombre a todas las líneas que parecen ser necesarias para su construcción, tanto en aquella que son desconocidas como las conocidas. Entonces, sin hacer distinción entre las líneas conocidas y desconocidas debemos desarrollar la dificultad de cualquier manera que muestre mas naturalmente las relaciones entre esas líneas, hasta que no sea posible expresar una cantidad de dos formas. Esto constituiría una ecuación, ya que los términos de una de esas dos expresiones es el conjunto igual a los términos de la otra.

Descartes empezó con un problema geométrico, que comúnmente involucra una curva dada y, la define tanto como un lugar geométrico estatico a la manera de los griegos como en término de un movimiento continúo uniforme. Su procedimiento fue trasladar un problema geométrico al lenguaje de una ecuación algebraica, luego simplificarla y finalmente resolver esta ecuación.

La parte menos discutida en su época fue la geometría, sin duda porque, ella tendría un pequeño número de lectores, debían ser personas que nosolamente estuviesen al corriente de todo lo que sabían de geometría y de algebra, sino que debían ser “laboriosos, ingeniosos et atentos”

La Geometría de Descartes esta formada por tres libros.
El libro primero de la geometría trata los problemas que puedan resolverse sin emplear mas que círculos y líneas rectas.
El libro segundo se titula De la naturaleza de las líneas curvas. Trata especialmente de las de grado superior y, sobre todo de la construcción y propiedades de la tangente y normales, líneas estas cuya importancia deriva de los problemas de la reflexión de la luz sobre las superficies curvas.
El libro tercero esta dedicado a los problemas sólidos o supersólidos, lo cual lo lleva al estudio de la resolución de ecuaciones, discusión de sus raíces, y relaciones entre los coeficientes. Mientras que una ecuación puede tener tantas raíces como dimensiones tiene el grado, de la famosa regla de los signos. Por ultimo, trata los celebres problemas de 3er grado; la trisección del angulo y la duplicación del cubo y señala que ellos pueden reducirse a cualquier otro problema de 3er grado.

Ubicar temporalmente el trabajo de Fermat sobre Maximos y Mínimos.

Fermat comenzó su trabajo, como la mayoría de los matematicos de la época, estudiando los problemas heredados de los griegos, aplicando a estos problemas nuevas técnicas.

La aplicacióndel algebra hizo mas que producir nuevas soluciones, ésta le permitió estudiar e interpretar a los antiguos bajo nuevo marco de referencia capaz de generalizar los viejos problemas, determinando nuevas relaciones entre los problemas y sus soluciones.

Hasta mediado del siglo XVII, se había investigado muy poco sobre la construcción de tangente, la mayor parte del conocimiento que se tiene que se tenía en esta area se basaba en el trabajo realizado por los griegos. Euclides y Apolunio definieron la tangente a una curva, como una línea recta que tiene un solo punto en común con la curva. Arquímedes también diseño un método para construir tangente a espirales, por medio de observaciones en la cinematica.

El origen de la diferenciación esta relacionado con la construcción de tangentes a curvas y con problemas de maximo y mínimo. El primero en considerar el problema de la diferenciación en relación a valores maximos y mínimos, fue el matematico Kepler, quién observó que el incremento de una función se hace muy pequeño, casi despreciable, en la vencidad de un valor maximo o mínimo. Fermat le dio forma a este hecho, y desarrolló un método para encontrar valores maximos y mínimos, es así como la tangente aparece como el límite de una secante.

Fermat en los problemas sobre diferenciación consideró los problemas de maximo y mínimo donde se planteó elproblema de hallar el maximo valor de A = X(α - X), area de un rectangulo cuyo semiperímetro α es dado.

El método de Fermat consiste en reemplazar a X por X + E, razonando de la siguiente manera cuando el valor de A alcanza su maximo. Los valores correspondientes de X y X + E seran los mismos. Esto significa que A = X(α – X) = (X + E)(α – X – E). Aplicando simples reglas algebraicas se tiene Xα – X2 = Xα – X2 – 2EX + Eα – E2 , donde queda 0 = Eα – 2EX – E2, dividiendo por E se obtiene 0 = α -2X – E 2X + E = α, como el incremento E fue realmente cero, se tiene un maximo para 2X = α es decir X = α/2 y A = (α/2)2, lo cual es correcto.

Utilizando las nuevas herramientas algebraicas, donde en vez de curvas se tienen familias de ecuaciones, Fermat procedió a generalizar su método. En curvas polinomiales, curvas representados por polinomios de la forma y = f(x). Diseñó un algoritmo capaz de producir los puntos en los cuales la función toma un valor maximo o mínimo. Para ello igualó f(x) = f(X + E), el valor de la función en un punto de la vencidad de X, a pesar que los valores no son exactamente iguales, son casi iguales. A medida que el segmento E entre los puntos (X y X + E) decrece, la seudoigualdad tiende a una verdadera igualdad, después de dividir por E se hace E = 0, se obtiene de esa forma las abscisas de los puntos maximos y mínimos de lafunción polinomial. A pesar que el método deja mucho que desear desde un punto de vista lógico, es equivalente a encontrar

Lim f(X+E) – f(x) = 0
E 0 E
que significa, hacer la derivada de f(x) igual a cero.

¿Cómo representaba Fermat el plano?, ¿Cómo lo hacía Descarte?
¿Qué sistema de representación es el mas próximo a nosotros?

La geometría de Descartes (1596 – 1650) fue publicada en el año 1637, como uno de los apéndices de su discurso del método/ para conducir bien la razón y buscar/ la verdad en las ciencias/ ademas/ la Dióptrica/ los Meteoros/ y la Geometría/ que son ensayos de este método.

En el mismo año, Fermat (1601 – 1665), envió a sus corresponsales en Paris su “Introducción a los lugares planos y sólidos”. Estos ensayos establecieron los fundamentos para la Geometría Analítica. Sin embargo, aunque el trabajo de Fermat fue mas sistematico en algunos aspectos, no fue publicado de hecho sino hasta el 1679, después de su muerte, y por esta razón hoy hablamos de la geometría cartesiana en lugar de la geometría Fermatiana.

La idea central de la geometría analítica es la correspondencia entre una ecuación f(x,y) = 0 y el lugar consistente de todos aquellos puntos cuyas coordenadas (x,y) relativas a dos ejes fijos perpendiculares que satisfacen la ecuación. De hecho, ni Descartes niFermat usaron sistematicamente dos ejes de coordenadas en la forma estandar actual. Lo mas cercano a ello viene indicado en el principio guía de Fermat.

Cuando encontramos dos cantidades conocidas en una ecuación, tenemos un lugar geométrico, la extremidad de una de estas describe una línea, recta o curva.

Para Fermat como para Descartes, las cantidades desconocidas en una ecuación eran segmentos lineales mas que números. Uno de éstos era medido a la derecha desde un punto de referencia sobre un eje horizontal y, el segundo era localizado con una ordenada vertical sobre el extremo del primero. El principio de Fermat afirma que el punto Terminal de la ordenada describe la curva correspondiente a la ecuación dada. La practica general de Descarte fue similar, de tal manera que ambos, de hecho dieron con la “Geometría Ordenada” en lugar de la geometría co-ordenada.

Fermat se adhirió a la notación de Vieta, y designo a sus variables como A y E en lugar de X y Y. sin embargo, Descartes uso totalmente la notación estandar actual con la simple excepción de que escribía (---) en lugar de = para la igualdad. Estandarizó la notación exponencial para las potencias e inició la practica común de usar letras cerca del inicio del alfabeto para los parametros y aquellas cercas del final para las variables. Actualmente se usa la notación de Descartes.