SISTEMA BINARIO 

Es un sistema de numeración que utiliza internamente hardware de las computadoras actuales.
Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0, por tanto su base es dos (numero de dígitos de sistemas). Cada digito de un número representado en este sistema se representa en BIT (contracción de binary digit).

Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido '1', apagado '0').

Es la unidad de información mas pequeña que puede manipular una maquina digital.
Es posible representar esta información binaria:

* con una señal eléctrica o magnética que, mas alla de un cierto nivel, representa el 1,

* a través de la aspereza o profundidad de los hoyos de una superficie,
* utilizando circuitos eléctricos, componentes eléctricos que poseen dos condiciones estables (una que representa al 1 y la otra al 0).

Por lo tanto, el bit se puede establecer con uno de dos estados: 1 o 0.
Con dos bits, se pueden obtener 4 condiciones diferentes (2x2):
 

El byte (abreviado con la mayúscula B) es una unidad de información compuesta por 8 bits. 
Se puede utilizar para almacenar, entre otras cosas, un caracter, como por ejemplo una letra o un número.

Agrupar números en cúmulos de 8 facilita su lectura, así como agrupar números en grupos de tres hace mas legibles los millares cuando se trabaja en base decimal.

Porejemplo, el número '1.256.245' se lee mejor que '1256245'.

Por lo general, una unidad de información de 16 bits se denomina palabra.

Una unidad de información de 32 bits se denomina palabra doble (o también, dword).

Para un byte, el menor número posible es 0 (representado por ocho ceros: 00000000), y el mayor es 255 (representado por ocho unos: 11111111), que permite la creación de 256 valores diferentes.

SISTEMA OCTAL 

Es un sistema de numeración cuya base es 8, es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades.

Estos sistemas es de los llamados posicionales y la posición de sus cifras se mide con la relación a la coma decimal que en caso de no aparecer se supone implícitamente a la derecha del numero.
Estos símbolos son
0 1 2 3 4 5 6 7 

Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.

Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria.

Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple.

El sistema octal usa 8 dígitos (0 ) y tienen el mismo valor que en el sistema denumeración decimal.

Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos:
 

 

 

 

El subindice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y el número 0.

SISTEMA DECIMAL 

Es uno de los sistema denominado posiciónales, utilizando un conjunto de símbolos cuyo significado depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo, denominado coma (,) decimal que en caso de ausencia se supone colocada a la derecha. Utiliza como base el 10, que corresponde al número del símbolo que comprende para la representación de cantidades; estos símbolos son

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Este conjunto de símbolos se denomina números arabes. Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las areas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo contextos, como por ejemplo en la informatica, donde se utilizan sistemas de numeración de propósito mas específico como el binario o el hexadecimal.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. 
SISTEMA HEXADECIMAL 

Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por tanto, utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Su uso actual esta muy vinculado a la informatica.
Es en laactualidad uno de los mas usados en el proceso de datos.
Esto se debe a que un dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble); por tanto, dos dígitos hexadecimales representan ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte, (que como es sabido es la unidad basica de almacenamiento de información).

Dado que nuestro sistema usual de numeración es de base decimal, y por ello sólo disponemos de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.
Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16.

Por ejemplo

3E0,A16 = 3×162 + E×161 + 0×160 + A×16-1 = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625.

Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad.
Para representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho mas compacta con respecto al sistema numérico binario.
Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda.

El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16,resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciseis).

El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a ésto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal.

Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16.

La conversión a decimal, es analoga al paso de binario a decimal, utilizando el teorema fundamental de numeración.
Veamos un ejemplo:

 

Debemos recordar que:
A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15

El paso contrario, de decimal a hexadecimal, también es analogo a la conversión binaria, pero teniendo en cuenta que la base es 16 y, por tanto, deberemos dividir por este número.
1957 / 16 = 122 Resto: 5
122 / 16 = 7 Resto: 10 (A
7 / 16 = 0 Resto: 7

1957 = 7A5

Sin embargo, en oposición a estas conversiones, el paso de binario a hexadecimal y de hexadecimal a binario es directo.
En el primer caso, agruparemos los bits de 4 en 4 desde la derecha y pasaremos cada grupo a su equivalente a hexadecimal.
En el segundo caso, pasaremos cada dígito hexadecimal a su equivalente en binario.

De Binario a Hexadecimal: 

11110100101 -- 111 1010 0101 -- 7 A 5 -- 7A5

De Hexadecimal a Binario: 

7A5 -- 7 A 5 -- 0111 1010 0101 -- 11110100101

Como se puede observar, elpaso es inmediato, lo que supone que en muchas ocasiones y, para mayor claridad, (y brevedad, fíjate en que en hexadecimal necesitamos menos dígitos) utilicemos este sistema de numeración.

TRABAJANDO EN SISTEMA BINARIO

Forma Complemento a 1 
El complemento a 1 de un numero binario se obtiene cambiando cada 0 por 1 y viceversa. 
En otras palabras, se cambia cada bit del numero por su complemento. 
 

Forma Complemento a 2
El complemento a 2 de un número binario se obtiene tomando el complemento a 1, y sumandole 1 al bit menos significativo. 
A continuación se ilustra este proceso para el numero 1001 = 9
 

Obsérvese que para calcular el complemento a 2 de un número binario sólo basta con revisar todos los dígitos desde el menos significativo hacia el mas significativo y mientras se consiga un cero, dejarlo igual, al conseguir elprimer número 1, dejarlo igual para luego cambiar el resto de ellos hasta llegar al mas significativo.

Así podemos decir rapidamente que el complemento a 2 de 10100000 es 01100000, que el complemento a 2 de111 es 001, etc. 

¿Para qué sirve?

Su utilidad principal se encuentra en las operaciones matematicas con números binarios.
En particular, en la resta de números binarios se facilita enormemente utilizando el complemento a dos: la resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo.

Una forma de hallar el opuesto de un número binario positivo encomplemento a dos es comenzar por la derecha (el dígito menos significativo), copiando el número original (de derecha a izquierda) hasta encontrar el primer 1, luego de haber copiado el 1, se niegan (complementan) los dígitos restantes (es decir, copia un 0 si aparece un 1, o un 1 si aparece un 0).

Por ejemplo, el complemento a dos de «0011 11010» es «1100 00110»-

Resta de números binarios: 
Primer ejemplo: 
Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario: 1011011 – 0101110 = 0101101 

La resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo: 
1011011 + 1010010 = 0101101 

En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. 
Pero, como el número resultante no puede ser mas largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Segundo ejemplo: 
Hagamos esta otra resta, 219 – 23 = 196, utilizando el complemento a dos: 

219 = 11011011, 
23= 00010111
Complemento a 2 del Nro 23 = 11101001 

El resultado de la resta sera: 11011011 + 11101001 = 111000100 

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 = 196 

Multiplicación binaria 
La multiplicación en binario es mas facil que en cualquier otro sistema de numeración.

Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO.
En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy faciles deaprender:
 
En una computadora, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas.

Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna.

Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. 

Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.

Veamos, por ejemplo, una multiplicación

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:

3349 * 13 = 43537 

División binaria 
Igual que en el producto, la división es muy facil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS. 

Consideremos el siguiente ejemplo,  6 = 7, en binario: 
 
Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo).
Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un dígito mas (1001 entre 100).

Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podra estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO.

En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor.
Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.