MEDIANA ESTADISTICA
ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
TEMA MONOGRAFICO: MEDIANA
INTRODUCCION
La investigación cuya finalidad es: el analisis o
experimentación de situaciones para el descubrimiento de nuevos hechos,
la revisión o establecimiento de teorías y las aplicaciones
practicas de las mismas, se basa en los principios de Observación
y Razonamiento y necesita en su caracter científico el
analisis técnico de Datos para obtener de ellos
información confiable y oportuna. Este analisis de Datos requiere
de la Estadística como
una de sus principales herramientas, por lo que los investigadores de
profesión y las personas que de una y otra forma la realizan requieren
ademas de los conocimientos especializados en su campo de actividades, del manejo eficiente de
los conceptos, técnicas y procedimientos estadísticos.
En estadística se usan algunos términos que
reflejan ciertas tendencias dentro de una muestra.
Dentro de estos términos encontramos dos que abordaremos en profundidad:
la media, la mediana, la moda
Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el valor alrededor del
cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). Estasmedidas aplicadas a las características de las unidades
de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que
aplicadas a poblaciones se les denomina parametros o valores
estadísticos de la población. Los
principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la
media, la mediana y la moda.
OBJETIVOS
* Saber el concepto y objetivo de la mediana, de donde proviene, para que se
utiliza, que métodos usar.
* Saber utilizarlos en la vida profesional.
* Identificar valores que se encuentra en el centro de los datos.
* Debemos recordar que la estadística es un
sistema o método empleado en la recolección, organización,
analisis e interpretación de los datos.
MARCO TEORICO
Hay varios tipos de medianas daremos a conocer algunos conceptos:
* Mediana geométrica: La transversal de gravedad en un triangulo,
es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Divide
al triangulo en dos regiones con la misma area. Las tres medianas
se intersecan en el baricentro, centro de gravedad del
triangulo o centroide. También se verifica que dos tercios de la
longitud de cada mediana estan entre el vértice y el baricentro,
mientras que el tercio restante esta entre el baricentro y el punto
medio del
lado opuesto.
* Mediana (Trafico) Una mediana, también llamadacamellón en
algunas zonas de Latinoamérica 1] es una
franja divisoria situada en mitad de una carretera que tiene la finalidad de
separar físicamente los dos sentidos del
trafico, impidiendo el paso
entre carriles de dirección contraria.
* Mediana Estadística:
Una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos
antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con
esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana
representaran el 50% de los datos, y los que sean
mayores que la mediana representaran el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana
coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.
Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de
los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente
en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han
ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se
encuentran por debajo de este valor y la otra mitad
por encima del
mismo.
Obtenido de 'http://es.wikipedia.org/wiki/Media geometr%C3%ADa)'
* Consideramos una variable discreta X cuyas observaciones en una tabla
estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana, Med al primer valor de la variable que deja por debajode
sí al 50% de las observaciones. Por tanto, si n es el número de
observaciones, la mediana correspondera a la observación [n/2 1, donde representamos por [.] la parte entera de un
número.
Podemos describir algunas propiedades para la mediana.
1.- Es única.
2.- Es simple.
3.- Los valores extremos no tienen efectos importantes
sobre la mediana, lo que si ocurre con la media.
La notación mas usual que se utiliza para
representar a la mediana es , o Me
Ejemplo:
Dados los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3
para la obtención de la mediana se deberan de ordenar. Tomemos el
criterio de orden ascendente con lo que, tendremos:
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 4,
4,
por otro lado el número de datos es igual a 15 datos, siendo el
número de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una
vez ordenados los datos, en este caso es 1.
La mediana para datos agrupados.
La extensión para el calculo de la mediana en el caso de datos
agrupados es realiza a continuación:
Donde
Md = Mediana.
Li = Limite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la
forma de calcularlo es a través de encontrar la posición
. En ocasiones en el intervalo donde se
encuentra la mediana de conoce como
intervalo mediano.
n = Número de observaciones ofrecuencia total.
= frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.
= Frecuencia del intervalo mediano.
A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana
.
Geométricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de areas iguales.
Ejemplo:
Retomemos la tabla del ejemplo mostrado para determinar la media de atenciones
médicas brindadas por el hospital, adicionando la columna de la
frecuencia acumulada
Tabla de frecuencias reportadas por la clínica
Clases (Datos en años) | Punto medio de cada clase | Frecuencias de cada
clase | Frecuencias acumulada |
| 15 | 8 | 8 |
| 25 | 20 | 28 |
| 35 | 14 | 42 |
| 45 | 8 | 50 |
| 55 | 2 | 52 |
| 65 | 2 | 54 |
| 75 | 1 | 55 |
| 55 enfermos atendidos | |
Determinemos el dato medio de los datos, como n = 55 entonces
n/2=27.5
El intervalo mediano o la clase donde se encuentra la mediana se encuentra en
la segunda clase.
sustituyendo en la ecuación tendremos
por lo que se puede concluir que el 50% de las personas atendidas en un fin de
semana por el hospital tienen una edad inferior a los 29.75 años.
CALCULO DE LA MEDIANA EN EL CASO DISCRETO
Tendremos en cuenta el tamaño de la muestra.
Si N es Impar, hay un término central, el
término que sera el valor de la mediana.Si N es Par, hay dos
términos centrales, la mediana sera la media de esos dos valores
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node16.htm
Veamos un ejemplo.
N par |
1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27 N=12 | 1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27,30 N=13 |
Términos Centrales el 6º y 7º 9 y 12 | Término Central
el 7º , 12 |
Me= | Me=12 |
CALCULO DE LA MEDIANA EN EL CASO CONTINUO:
Si la variable es continua, la tabla vendra en intervalos, por lo que se
calcula de la siguiente forma:
Nos vamos a apoyar en un grafico de un histograma de frecuencias
acumuladas.
De donde la mediana vale: donde ai es la amplitud del intervalo
Veamoslo por medio de un ejemplo.
Supongamos los pesos de un grupo de 50 personas se distribuyen de la siguiente
forma
Li-1 | Li | ni | Ni | Como
el tamaño de la muestra es N=50, buscamos el intervalo en el que la
Frecuencia acumulada es mayor que 50/2=25, que en este caso es el 3º y
aplicamos la fórmula anterior. Luego la Mediana seraMe= |
45 | 55 | 6 | 6
55 | 65 | 10 | 16
65 | 75 | 19 | 35
75 | 85 | 11 | 46
85 | 95 | 4 | 50
Calculo de la mediana
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de medidas
la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par depuntuaciones
la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Calculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre
.
Li es el límite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene
dada por la siguiente tabla:
| fi | Fi |
[60, 63) | 5 | 5 |
[63, 66) | 18 | 23 |
[66, 69) | 42 | 65 |
[69, 72) | 27 | 92 |
[72, 75) | 8 | 100 |
| 100 | |
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
PROBLEMITAS RESUELTOS
EJERCICIO 1
La publicación Bank Rate Monitor informó las siguientes tasas de
ahorro. Cual es la mediana de las tasas.
EJERCICIO 2
Uno de los principales factores que repercuten en el costo cuando se adquiere
una casa es el de los pagos mensuales del préstamo. Existen muchos sitios en internet donde los futuros compradores
pueden consultar las tasas de interés y calcular sus pagosmensuales.
El Capital Bank of Virginia
analiza la posibilidad de ofrecer préstamos para
la adquisición de casas a través de internet. Antes de tomar una decisión final, seleccionara una
muestra reciente de préstamos, con sus pagos mensuales correspondientes.
La información se organiza en la siguiente distribución de
frecuencias.
Calcule el pago mensual mediano
EJERCICIO 3
Una muestra de 50 negociantes de antigüedades en el sudeste de
Estados Unidos reveló las siguientes ventas ( en
dólares) en el año pasado:
Determine la mediana de las ventas
CONCLUSIONES:
* La mediana de un conjunto finito de números separa al conjunto en dos
parte iguales de forma que el numero de valores mayor o igual a la mediana es
igual al numero de valores menores o iguales a estos.
* Su aplicación se ve limitada ya que solo considera el orden
jerarquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como
en el caso de la media.
