Límite de una función en un punto

Los valores de x a considerar han de pertenecer al dominio de definición , D de la función. También es necesario que en D haya puntos tan próximos a a como queramos, es decir, que a sea un punto de acumulación de D.

Punto de acumulación

Puntos tan próximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequeña que sea, existen puntos del dominio de definición de la función, que no coincidan con 'a', a una distancia de 'a' menor que la considerada.
El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la función en el punto a; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de definición de la función. Sí es necesario, que 'a' sea punto de acumulación del dominio de definición de la función.

Explicación dinamica del concepto de límite

Ejemplo: Una función típica en analisis es

Esta función no esta definida en el punto x=1. Para este valor de x, el denominador de la función es 0, y no tiene sentido en matematicas dividir por 0. El valor al que esta función se aproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la función tiene límite cuando x se aproxima a 1; el límite es 2. Se escribe:

Límites laterales

Ellímite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a. se representa por:

El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a. Se representa por:

Ejemplo:

Continuidad de una función en un punto

Continuidad de una función en un punto
Definición

Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función si: 

tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera mas simple: Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo si y sólo si 
.
Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de  en , y de una manera mas rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y ademas ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente: 
1. existe el límite por la derecha

2. existe el límite por la izquierda:

3. Lafunción tiene limite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden

5. Si existen el limite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene limite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x1 y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que 

.
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imagenes que se salen de J
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Tipos de Discontinuidades

Discontinuidad de salto finito

    Sepresentara una discontinuidad de salto finito en un valor x = a cuando en la grafica observemos una separación o salto entre dos trozos de la función que pueda medirse. Esto es debido a que la tendencia de la función a la izquierda del punto x = a es diferente de la que tiene a la derecha.   En la grafica se observa lo indicado.


Discontinuidad de salto infinito

  Cuando en un punto de la curva observamos que la tendencia a la izquierda o a la derecha (o ambas) es a alejarse al infinito (mas infinito o menos infinito), entonces nos encontramos con una discontinuidad de salto infinito en el punto a.


Discontinuidad evitable

  Si nos encontramos que la continuidad de la grafica se interrumpe en un punto donde no hay imagen, o la imagen esta desplazada del resto de la grafica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto a. Aquí la tendencia de la función a la izquierda de a y a la derecha de a sí coincide, sin embargo es f(a) el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera existe.

Continuidad de una función en un intervalo

Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir: f es continua en un intervalo I 

Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y ademas es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.

Continuidad de una función en un intervalo abierto (a, b)

Se tiene que una función f definida en el intervalo (a, b), es continua en ese intervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto a,b y es continua por la derecha de 'a'. Similarmente, para que una función f definida en el intervalo (a, b) sea continua en ese intervalo, es necesario que f sea continua en el intervalo abierto (a, b) y a la vez que sea continua por la izquierda en 'b'.

Ejemplo
Consideremos la función definida por  en el intervalo . 

Para se tiene que  

Ademas , por lo que la función es continua por la derecha en . 

Luego f es continua en

Ejemplo
Considere la función  definida por  en el intervalo . 

Pare  se tiene que  y 
 por lo que  es continua en  

Ademas,  y  es continua por la izquierda en 2. 

Luego  es continua en el intervalo 



Continuidad lateral

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Esdecir

como en la figura.
Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es

Continuidad en un intervalo cerrado
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)
f es continua en a por la izquierda:

f es continua en a por la derecha:

Consecuencia
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f esta acotada en dicho intervalo.

Ejemplo
Estudiar la continuidad de  en el intervalo [0, 4].
f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es continua en toda .
f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda .
Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.
f(2)= 4

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

Algunas funciones continuas importantes

Funciones seno y coseno.

Lasfunciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las expo-nenciales  y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición. La parabola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.
En la grafica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su caracter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Función racional

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el  dominio   porque no esta definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dandole un valor arbitrario a f(0)) la función sera discontinua.

Teoremas sobre funciones continuas

Estos son algunos de los teoremas mas importantes sobre funciones continuas.
1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta maximos y mínimos absolutos.
2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces  tal que f(c) = 0
3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a)