Límites Laterales, al Infinito e Infinitos



Se desea conocer el valor de los siguientes límites:
a.
b.
c.
d.
e.
El problema ahora se reduce a 'sustituir' apropiadamente f(x) en cada uno de los literales anteriores.
a. Nótese que en las 'cercanías' de la función f(x) es Asi que:

b. Igualmente, en las 'cercanías' de la función f(x) es De esta forma:

c. También en las 'cercanías' de la función f(x) es Por lo tanto,

Ahora, nótese en la fig. 8.5. que para los valores de x anteriores al viene dada por: . Mientras que para los valores de x próximos a 1 pero posteriores viene dado por:
¿Cual es entonces la f(x) apropiada para sustituir en la parte d.? En situaciones como esta, es útil y natural introducir los llamados Límites laterales.

El símbolo: significa que: x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores menores que 1).
El símbolo: significa que: x se aproxima a 1 por la derecha (por valores mayores que 1).
En el caso particular que interesa, se tiene:
(1)
(2)
Igualmente, en el caso e. ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir,
si y si .
Asi que:
(3)
(4)
En general, denotamos por:
para expresar que: x se aproxima al valor a por la derecha.
Esto es por valores de x > a.
para expresar que: x se aproxima al valor a por la izquierda.
Esto es por valores de x < a.
Lo anterior, nos permite dar una definición informal de los límites laterales.
Definiciones.i.Límite por la derecha.
Decir que , significa que cuando x esta cerca, pero a la derecha de a, entonces f(x) esta cerca de L.

ii. Límite por la izquierda.
Decir que , significa que cuando x esta cerca, pero a la izquierda de a, entonces f(x) esta cerca de L.
Observación:
Decir que es diferente a decir que .
El siguiente teorema establece la relación que existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales.

TEOREMA.

Observaciones:
i.Otra forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente: no existe, si y solo si, no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, son diferentes.
ii. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del límite de una función, en particular para la función inicial de estudio en esta sección, se deduce de (1) y (2) que: existe y , puesto que . De igual forma, de (3) y (4) se deduce que: no existe, ya que
Límites al Infinito
En lo que sigue vamos a estudiar los límites infinitos para diversas funciones.
Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.
__________ ______ ____ _________
Ejemplo 7. Crecimiento ilimitado de x.
Sea , nos preguntamos:
a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente?
b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente?(esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez 'mas abajo')
Solución: La grafica de la función indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.
a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la grafica:

Tabla 4.4
Hacia

x 10 100 1000 10000 100000
f(x) 3,125 2,091836 2,009018 2,0009 2,00009
Hacia 2
Con la tabla 4.4 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.
La expresión 'x crece sin cota' se simboliza con y se dice que x tiende a infinito. Toda la situación anterior se escribe simbólicamente como

b) Para comprobar la respuesta también construiremos una tabla de valores.

Tabla 4.5
Hacia

x -10 -100 -1000 -10000 -100000
f(x) 1,25 1,911764 1,991017 1,9991 1,99991
Hacia 2
Nuevamente, a partir de la tabla 4.5 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.
La expresión 'x decrece sin cota' se simboliza con y se dice que x tiende a menos infinito. La situación anterior se escribe simbólicamente como

Podemos dar una definición informal para estas situaciones.

Definición 4.3. Límites al infinito
a. Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L).
b. Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer xilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M).

Teorema 4.3. Propiedades de los límites al infinito
1. Si k es una constante entonces y
2. Si n es un número natural par entonces y
3. Si n es un número natural impar entonces y
4. Si m es un número natural par entonces
5. Si m es un número natural impar entonces y
6. Si k es un número racional positivo y r es un número real arbitrario entonces y siempre que xk esté definido.

Ademas, son validas las propiedades dadas en los teoremas 2.1 y 4.2 si en vez de x tiende a c escribimos o escribimos .
Aplicaciones del Teorema 4.3
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Ejemplo 9.
por el punto 1 del teorema anterior tomando k=439.
• y , por el punto 2 del teorema, tomando n=2 (par).
• y , por el punto 3 del teorema, tomando n=5 (impar).
por el punto 4 del teorema, tomando m=2 (par).
• y , por el punto 5 del teorema, tomando m=3 (impar).
• y , por el punto 6 del teorema, tomando r=42 y k=4.
__________ ______ ____ _________
Ejemplo 10. Un método para calcular ciertos límites al infinito.
• Calcular
Solución: Tenemos

• Calcular .
Solución: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede en estos casos del siguiente modo:

Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresión 'sacando' el término de mayor exponente, por esta razón dentro del paréntesis quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador. El objetivo que se persigue con esto esmuy claro: estas fracciones que acabamos de mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, el límite solo va a depender del término de mayor exponente. Entonces,
(¿por qué?)
El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el calculo de muchos de los límites al infinito.
• Calcular
Solución: Procedemos del siguiente modo:



Límites al infinito de funciones polinomiales
El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las dos reglas siguientes.
Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x)=anxn+an-1xn-1+ ••• +a1x+a0 (con an diferente de 0) entonces

y también

Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x)=anxn+an-1xn-1+ ••• +a1x+a0 (con an distinto de 0) y q(x)=bmxm+bm-1xm-1+ ••• +b1x+b0 (con bm distinto de 0) entonces

y ademas


Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los límites al infinito de un polinomio basta considerar solo el término de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los límites al infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los términos de mayor grado de ambos polinomios.




1. Evaluar los siguientes límites:
a.
b.

__________ ______ ____ _________

Solución
a. El límite es indeterminado de la forma .
Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador por x; así:

Como x < 0 y se puede escribir en el numerador.
Luego,



b. Este límite también es indeterminado de la forma .
Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador nuevamente por x y como se puede escribir en elnumerador, asi:




2. Evaluar el siguiente límite:


__________ ______ ____ _________

Solución
El límite es indeterminado de la forma: .
Para eliminar la indeterminación, se multiplica y se divide la expresión inicial por y luego, se divide numerador y denominador por x.
Esto es,




Ahora, como x > 0 se puede escribir en el denominador de la última fracción.
De esta forma:



3. Evaluar los siguientes límites:
a.
b.


Solución
a. Al dividir numerador y denominador por (mayor potencia de x), se obtiene:


b. Nótese que como la función es una función par, esto es , significa esto entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos, es el mismo. Asi que,








Límites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.