TRABAJO Y ENERGIA
TERCERA UNIDAD Física General I (FS-100) Sección 19:02

Imagen 1: Pelota rebotando tomada con un flash estroboscópico.


INTRODUCCIÓN El presente documento es un resumen de los contenidos relacionados a la Unidad 3 de la asignatura de Física General I: Trabajo y Energía. Ya que hemos estudiado anteriormente las causas del movimiento de los objetos, y hemos aprendido a utilizar las leyes de Newton para analizar casos diversos de objeto y sistemas de objetos en movimiento, ha llegado el momento de aprender métodos alternativos para solucionar problemas. Estos métodos (muy útiles para determinar el valor de una rapidez, una fuerza o un desplazamiento) son: 1. Teorema del Trabajo y el Cambio de la Energía Cinética 2. Principio de Conservación de la Energía Mecánica Ambos son derivados a partir de la combinación de la Segunda Ley de Newton y las ecuaciones de cinemática. Uno de nuestros objetivos será aprender a utilizar estos métodos, así como entender los términos relacionados con los mismos. La imagen 1 (trealmente son varias imágenes!), muestra una pelota rebotando. Conforme se mueve, la energía de dicho objeto va cambiando: de potencial a cinética y de cinéticaa potencial (eso sí: se pierde energía debido a cada rebote, que no es más que una colisión entre la pelota y el suelo).

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CONTENIDO 1. Trabajo de una Fuerza Si buscamos una definición de trabajo en el Diccionario de la Lengua Española (Real Academia Española) encontraremos varios significados, entre ellos: - Obra, resultado de la actividad humana. - Esfuerzo humano aplicado a la producción de riqueza, en contraposición a capital. - Mec. Producto de la fuerza por el camino que recorre su punto de aplicación y por el coseno del ángulo que forma la una con el otro. ttEsta última definición es la que nos interesa!! El trabajo de la fuerza F correspondiente al desplazamiento d es, por definición, la cantidad (Producto escalar o producto punto de 2 vectores

Donde θ es el ángulo entre los vectores F y d.

mov θ

F d

El trabajo es una cantidad escalar que tiene magnitud pero no dirección. En unidades del SI, el trabajo se expresará en *Newton·metro+, unidad a la que se le llama *Joule+. En unidades del Sistema Inglés, el trabajo se expresará en [libras·pie].

2. Trabajo Efectuado Por Un Resorte Un resorte conectado a un bloque sobre una superficie horizontal sin fricción, al ser comprimido o alargado una pequeña distancia de su posición deequilibrio ejercerá una fuerza sobre el bloque expresada por: Fs = -kx (Ley de Hooke) donde x es el desplazamiento del bloque desde su posición de equilibrio (es decir, la deformación del resorte) y k es una constante positiva llamada constante de fuerza del resorte, cuyas unidades son N/m. Un valor alto de k identifica a un resorte rígido y un valor pequeño identifica a un resorte suave. El signo negativo indica que la dirección de la fuerza que hace el resorte sobre el bloque es opuesta a la deformación del resorte.

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bloque

Resorte en reposo

bloque

Resorte en reposo

x
Resorte comprimido Resorte estirado

x

Fs

Fs

El trabajo efectuado por la fuerza del resorte cuando el bloque se mueve en un desplazamiento arbitrario es:

El trabajo neto hecho por la fuerza del resorte cuando el bloque se mueve de xi = -xmáx a xf = xmáx es cero. El trabajo realizado sobre el resorte por un agente externo es igual al negativo del trabajo efectuado por la fuerza del resorte, dado que la fuerza aplicada Fap es igual y opuesta a la fuerza del resorte Fs.

3. Energía En física, energía se define como la capacidad para realizar un trabajo. La energía no es un estado físico real, ni una 'sustancia intangible' sino sólo una magnitud escalarque se le asigna al estado del sistema físico, es decir, la energía es una herramienta o abstracción matemática de una propiedad de los sistemas físicos. Por ejemplo, se puede decir que un sistema con energía cinética nula está en reposo. La energía también es una magnitud física que se presenta bajo diversas formas, está involucrada en todos los procesos de cambio de estado físico, se transforma y se transmite, depende del sistema de referencia y fijado éste se conserva. Por lo tanto, todo cuerpo es capaz de poseer energía, esto gracias a su movimiento (energía cinética), a su composición química, a su posición (energía potencial), a su temperatura (calor), a su masa y a algunas otras propiedades.

4. Energía Cinética ( K ) Es la energía del movimiento, y se representa por:

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Donde: K es la energía cinética m es la masa del objeto v es la rapidez del objeto

5. Teorema del trabajo y la energía cinética: El trabajo neto realizado sobre un cuerpo por una fuerza externa es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo. Cuando el trabajo es realizado, hay un cambio o una transferencia de energía.

6. Energía Potencial (U) Un objeto que tiene energía potencial tiene el potencial de realizar trabajo. Dicho potencial deriva de la posición oconfiguración de los cuerpos. Se puede considerar que la energía potencial es trabajo almacenado. Energía potencial elástica (de un resorte)

Esto quiere decir que sólo se almacena energía potencial en un resorte deformado, ya sea que se estire o se comprima.

Para encontrar el trabajo realizado al deformar un resorte entre 2 posiciones arbitrarias xi y xf se utiliza: – Energía potencial gravitacional:
Donde: m es la masa del objeto g es la magnitud de la gravedad h es la altura a la que se encuentra el objeto

Para encontrar el trabajo realizado al desplazar un cuerpo (partícula) entre 2 alturas (posiciones verticales) arbitrarias hi y hf se utiliza: – Es importante hacer diferencia en que: - la energía potencial de un objeto depende del nivel de referencia establecido, mientras que - el cambio de energía potencial es independiente de dicho nivel.

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7. Conservación de la Energía Mecánica: La energía total de un sistema aislado siempre se conserva.

En un sistema conservativo, la suma de las energías cinética y potencial es constante e igual a la energía mecánica total del sistema. Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por ella o contra ella al mover un objeto es independiente de la trayectoria del objeto. Una fuerzaes conservativa si el trabajo hecho por o contra ella al mover un objeto a través de un viaje redondo (un viaje en trayectoria cerrada) es cero. El trabajo realizado contra una fuerza no conservativa, como la fricción, depende de la trayectoria. La energía mecánica se “pierde” a través del trabajo hecho por la fuerza no conservativa. Para un sistema no conservativo, la energía mecánica total se representa como

donde | Wnc | es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas ( o, dicho de otra forma, es la pérdida de energía mecánica).

8. Potencia ( P ) Es la rapidez a la que se hace un trabajo. Su unidad de medida es el watt (W) en el SI y el hp (horse power, caballo de fuerza) en el sistema inglés. 1 hp = 746 W 1 hp = 550 libras pie/s Potencia promedio

En el límite cuando aˆ†t tiende a cero, resulta la potencia instantánea:

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EJEMPLOS 1. Una bola de boliche de 7.00 kg se desplaza a 3.0 m/s. sCon qué rapidez debe moverse una pelota de ping pong de 4.45 g para que ambos objetos tengan la misma energía cinética? SOLUCION: La energía cinética es la energía que posee un cuerpo cuando está en movimiento. De la bola de boliche conocemos su masa y rapidez, así que podemos calcular su energía cinética así: K= œmv2 = œ (7.00kg)(3.00m/s)2 =31.5 J Entonces, ya que la condición es que la bola de ping-pong debe tener una energía cinética igual, su rapidez podrá ser calculada al despejar ese valor así: K= œmv2 2K = mv2 2K/m = v2 √2K/m = v √2(31.5J) / (4.45x10-3kg) = v 118.98 m/s = v Respuesta

2.

Sobre un estanque congelado, a un trineo de 10 kg se le da un puntapié que le imparte una rapidez inicial de 2.0 m/s. El coeficiente de fricción cinética entre el trineo y el hielo es 0.10. Utilice el teorema del trabajo y la energía cinética para calcular la distancia que el trineo recorre antes de detenerse. SOLUCION: En este caso, como en la mayoría de problemas, lo mejor es realizar un D.C.L. para apreciar las fuerzas externas (representadas en rojo) que actúan sobre el trineo.

mov fc d =s?

n

mg

Por la información proporcionada en el problema, sabemos que la rapidez inicial del trineo es 2.0 m/s y su rapidez final es cero (se detiene). Con esta información y con la masa podemos determinar el cambio de energía cinética: aˆ†K = Kf - Ki = œmvf2 - œmvi2 = œ (10.00kg 0m/s)2 - œ (10.00kg)(2.0m/s)2 = -20.0 J El teorema del trabajo y la energía cinética establece que el cambio de energía cinética es igual al trabajo neto realizado sobre el objeto. Esto es

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ΣW = aˆ†K = -20.0J (Eltrabajo neto realizado sobre el trineo es negativo, lo que significa que el trineo entregó energía al exterior.) Del D.C.L. se puede apreciar que la única fuerza capaz de realizar trabajo es la fricción cinética ya que las otras dos son perpendiculares al desplazamiento. La comprobación es: (Trabajo de una fuerza constante se determina así: W = F d cosθ) Trabajo de la fricción: Trabajo de la normal: Trabajo del peso: Wf = (fc) (d) cos180° = - fc d Wn = (n) (d) cos90° = 0 Wmg = (mg)(d) cos270° = 0

Entonces, el trabajo neto será igual a la suma de los trabajos individuales: ΣW = Wf + Wn + Wmg ΣW = - fc d + 0 + 0 ΣW = - fc d Así que la distancia recorrida por el trineo se obtendrá al despejar d en la última ecuación: ΣW = - fc d ΣW/(-fc) = d Para establecer el valor definitivo necesitamos el valor de la fuerza de fricción: ΣFy = 0 y fc = μn n-mg = 0 fc = (0.10)(98.0N) n = mg fc= 9.8 N n = (10.0kg)(9.8m/s2) n= 98.0 N Finalmente, la distancia recorrida es: ΣW/(-fc) = d (-20.0J)/(-9.8N) = d 2.04 m = d Respuesta

3.

Una esfera de 0.40 kg se desliza en un alambre curvo a partir de una posición de reposo en el punto A de la figura mostrada. Si el alambre carece de fricción, calcule la rapidez de la esfera en los puntos B y C. A C

5.0m

2.0m
B SOLUCION: La mejor manera de resolver este problema es utilizando elPrincipio de Conservación de la Energía Mecánica, ya que las distancias conocidas son verticales.

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Entonces, debemos establecer una referencia (el punto donde y=0) para poder calcular energía potencial. El nivel más conveniente parecer ser la línea punteada que pasa por el punto B. De esta manera, la altura del punto A es 5.0 m, la del punto B es 0, y la del punto C es 2.0 m. Siempre debemos escoger una pareja de puntos en la trayectoria del objeto para realizar el análisis correspondiente. Empezaremos considerando la pareja de puntos A y B. A
inicio

5.0m
final

La escogencia de inicio y final corresponde a la secuencia lógica de los eventos. Así que el punto inicial debe ser el A y el final el punto B.

B El Principio de Conservación de la Energía Mecánica establece que la energía mecánica antes y después de un proceso debe ser la misma en un sistema aislado. Expresado mediante una ecuación es: U i + Ki = U f + Kf mghi + œmvi2 = mghf + œmvf2 Por la información proporcionada en el problema, sabemos que la rapidez inicial (v i) de la esfera es 0 m/s, su altura final (hf) es 0 m,y el dato que buscamos es la rapidez final (v f,), por lo que la ecuación nos quedará: mghi + œm(0)2 = mg(0) + œmvf2 mghi = œmvf2 2(mghi) = mvf2 2ghi = v f2 √2ghi =vf 2 √2(9.8m/s )(5.0m) = vf 9.90m/s = vf Rapidez en el punto B

Considerando ahora la pareja de puntos A y C, se podrá determinar la rapidez en este último punto:

A 5.0m

inicio final

C 2.0m

U i + Ki mghi + œmvi2 mghi + œm(0)2

= U f + Kf = mghf + œmvf2 = mghf + œmvf2 Página 8

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mghi - mghf = ghi - ghf = 2(ghi - ghf) = √2(ghi - ghf) = √2g(hi - hf) = 2 √2(9.8m/s )(5.0m -2.0m) 7.67m/s =

œmvf2 œvf2 v f2 vf vf = vf vf Rapidez en el punto C

4.

Un bloque de 200 g está presionado contra un resorte de constante de fuerza 1.40 kN/m hasta que el bloque comprime el resorte 10.0 cm. El resorte descansa en el fondo de una rampa inclinada a 60.0° con la horizontal. Con el uso de consideraciones de energía, determine cuánto sube el bloque por la rampa antes de detenerse si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la rampa es 0.400. SOLUCION: En este caso, y considerando que existe fricción, el D.C.L. correspondiente es el siguiente

mov

d =s? Así que

Fs fc mg
n

60.0°

Nivel de referencia

x= 10 cm

Es importante notar lo siguiente: a.) El bloque inicia su movimiento desde el reposo (vi = 0) y en el punto final del análisis vuelve a detenerse (vf = 0). Por lo tanto, su energía cinética será cero tanto al inicio comoal final. b.) La distancia marcada como d incluye los 10 cm que está comprimido el resorte. c.) La constante de fuerza está expresada en kilonewtons (1 kN = 1000 N). Si empleamos el Principio de Conservación de la Energía, y considerando que existe una fuerza no conservativa (la fricción), tenemos

d 60s

hf

Así que:

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PROBLEMAS 1. Un electrón de masa 9.11 x 10-31 kg tiene una rapidez inicial de 3.00 x 105 m/s. Viaja en línea recta y su rapidez aumenta a 7.00 x 105 m/s en una distancia de 5.00 cm. Suponiendo que su aceleración es constante, determine: a) el cambio de energía cinética del electrón b) el trabajo neto efectuado sobre el electrón c) la fuerza neta ejercida sobre el electrón Un plano sin fricción mide 10.0 m de largo y está inclinado a 35°sobre la horizontal. Un trineo de 30 kg sube desde la base del plano con una rapidez inicial de 5.00 m/s hacia arriba del plano. Determine: a) La energía cinética inicial del trineo. b) La energía potencial del trineo cuando se detiene momentáneamente. c) La altura máxima alcanzada por el trineo sobre el nivel de lanzamiento. d) La distancia recorrida por el trineo sobre el plano.



5m/s

d hmax 35° referencia

3.

Un auto que viaja a 50 km/h patina una distancia de 35 m despuésde que sus frenos se bloquean. Estime la distancia que patinará si sus frenos se bloquean cuando su rapidez inicial es de 100 km/h. sQué le ocurre a la energía cinética del automóvil cuando el mismo se detiene? Un resorte ligero horizontal, cuya constante de fuerza es k=100 N/m, es comprimido 10 cm (0.10 m) cuando se empuja contra él a un bloque de 2.0 kg. Una vez que el bloque se libera desde el reposo, determine : a) La rapidez del bloque en el instante cuando se separa completamente del resorte, considerando que la superficie horizontal sobre la que se encuentra es lisa. b) La distancia máxima que recorrerá hasta detenerse si la superficie es rugosa con un coeficiente de fricción cinético de 0.102. Página 10

4.

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mov Fs fc n
5.

d =s?

mg

Un péndulo está compuesto por una masa de 3.0 Kg y una cuerda ligera de 2 metros de longitud. Si se le brinda una velocidad de 4.0 m/s hacia la derecha cuando el péndulo está completamente vertical (punto A), como se muestra en la Figura P5, determine: a) La altura máxima a la que ascenderá (punto C). b) La rapidez del bloque cuando ha subido la mitad de la altura máxima (punto B).

C
Figura P5

B

hmax =s?

A
4.0 m/s

6.

Las masas M1, M2 y M3, de 10 kg, 8.0 kg y 12 kg, respectivamente, seencuentran inicialmente en reposo. Al soltarlas, se mueven como se muestra en la Figura P6. La superficie sobre la que se encuentra M1 es rugosa y tiene un coeficiente de fricción igual a 0.25. Cuando mov las masas han recorrido un metro, determine: a) El trabajo realizado por la fricción, en joules. M1 b) La rapidez de las masas. Figura P6 c) La potencia instantánea disipada por la fricción. M
1

M2

M
M3 2

7.

El bloque de 6kg de masa se suelta desde el reposo en el punto A, y se desliza sobre una 2 superficie lisa circular que termina en el punto B. De ahí en adelante el movimiento del bloque se realiza sobre un plano rugoso BC cuyo coeficiente de fricción es 0.10. Si el resorte tiene una constante de fuerza de 500N/m, determine la máxima deformación experimentada por el resorte.

M

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A R = 8m

B

10 m

C

Bibliografía
Maggs, M. (s.f.). wiki commons. (R. Bartz, Editor) Recuperado el 20 de octubre de 2010, de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg Serway, F. Física Para Ciencias Médicas (Quinta ed.). México D.F.: McGraw-Hill. Wikipedia. (s.f.). Recuperado el 20 de Octubre de 2010, de https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa

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