PENDULO SIMPLE

1. INTRODUCCIÓN

 Péndulo, dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los péndulos se emplean en varios mecanismos, como por ejemplo algunos relojes.

En el péndulo mas sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que toda la masa del dispositivo esta concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto sólo se mueve en un plano. El movimiento del péndulo de un reloj se aproxima bastante al de un péndulo simple. El péndulo esférico, en cambio, no esta limitado a oscilar en un único plano, por lo que su movimiento es mucho mas complejo.

El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia maxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geografica, puesto que la gravedad es mas o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado sera mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, unpéndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

2. PÉNDULO COMPENSADO  

El péndulo simple resulta adecuado como regulador para medir el tiempo si se mantiene constante la longitud de la varilla. Sin embargo, se comprobó que en invierno los relojes se adelantaban, y en verano se atrasaban, debido a la contracción o dilatación de la varilla metalica a causa del frío y el calor. Esto llevó a introducir un perfeccionamiento para mantener una longitud uniforme (y, por consiguiente, un periodo uniforme) mediante el uso de péndulos compensados. Los principales tipos son el péndulo de mercurio y el péndulo de parrilla. El péndulo de mercurio contiene un cilindro de vidrio casi lleno de mercurio. Cuando el péndulo se dilata hacia abajo por el calor, este cambio se ve compensado por la dilatación hacia arriba del mercurio en el cilindro. El péndulo de parrilla esta compuesto por una serie de barras metalicas verticales, por lo general de acero y cobre, con distintas composiciones y, por ende, distintos coeficientes de dilatación térmica. Si se ajustan las longitudes relativas de estas barras, los cambios de temperatura no afectan al periodo del péndulo.

3. PÉNDULO SIMPLE (solución aproximada)


El péndulo consiste de un objeto de masa “m” unido a una cuerda de longitud “L” que oscila en un plano vertical.

Con la finalidad de simplificar el estudio, consideraremos al objeto como masa puntual, es decirla esfera de masa “m” posee dimensiones, pero si la masa y la amplitud de oscilación () es pequeña.

En un tiempo “t” la cuerda forma un angulo con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la esfera son: la tensión, T, de la cuerda, y el peso, mg .Descomponiendo el vector ma, en sus componentes normal maN y tangencial mat dirigida hacia la derecha, es decir, en dirección de los valores de crecientes, aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial se obtiene:



(9.1)

Con la aT = L en la ecuación (9,1) donde alfa es la aceleración angular y simplificando la masa.

-g sen = L (9.2)

Como la aceleración angular se escribe: esta expresión en (9.2) y ordenando se tiene:
(9.3)

Para la oscilación de pequeña amplitud, podemos sustituir sen por expresado en radianes, luego (9,3) se escribe:
(.9.4)

La ecuacion deferencial (9.4) corresponde al movimiento armonico simple, cuya solucion fue estudiada en la practica de resortes; entonces el periodo de oscilaciones pequeñas (T) de un péndulo de longitud L es:

(9.5)

9.2.2 PÉNDULO SIMPLE (solucion exacta)

La anterior ecuación es solo aproximada, con la finalidad de obtener una expresión exacta, considerando la ecuación (9.3), multiplicando por con , velocidad angular. Y ademas considerando y ordenando.



Simplificado (dt) e integrando con loslimites: con y para , separando variables:



en la integración se usan relaciones trigonométricos, en la anterior ecuación tenemos:
(9.7)

Para evaluar la integral, desarrollamos el integral por el teorema del binomio e integrando resulta:



La ecuación diferencial (9,3) puede tambien resolverse por otro método, para ello se emplea el desarrollo en serie del sen.

(9.10)
Mediante (9.10) la solución de (9.3) conduce a:

(9.11)

9.2.3 INFLUENCIA DEL RADIO DE LA ESFERA

En la deducción de la ecuación (9.3) se supone que la esfera tiene una masa puntual no posee dimensiones, sin embargo a medida que aumenta el radio de la esfera, el péndulo simple se aproxima al péndulo físico y su movimiento se describe por la mecanica del sólido rígido, la deducción del periodo de la oscilación de esfera (T) considerando el radio r de la esfera se escribe:

(9.12)

9.2.4 CALCULO DE Y r MAXIMOS

En el experimento se emplea la ecuación (9.5), en consecuencia se debera escoger cierto angulo de separación y verificar que este angulo juntamente con el radio de la esfera no sean factores que invaliden la ecuación (9.5). en este sentido.

Entonces el angulo maximo de separación y “r” ya calculado en la guia se tiene:

(9.18)
(9.21)

Ademas la longitud maximo de la cuerda L se calcula mediante:(9.22)

9.2.5 NUMERO DE OSCILACIONES

Con la finalidad de determinar la aceleración de la gravedad a partir de las mediciones L, T mediante la ecuación (9.13), resulta conveniente medir el numero de oscilaciones. El numero de oscilaciones que debe realizar el péndulo para cierto error preestablecido de la aceleración de la gravedad es:

(9.22)

Este procedimiento se lo realizo en la practica de resortes.
Para la determinación de error relativo del periodo y con el error relativo de la gravedad preestablecido se lo calculo por medio de:
(9.23)
9.2.6 MEDICI ON DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

Para el calculo de la aceleración de la gravedad se emplea la ecuación, donde en la esta ecuación se emplea el periodo de las “n” oscilaciones ya calculadas en la anterior ecuación:

(9.24)

Luego mediante propagación de errores, el error de la gravedad se tiene:

( 9.27)

9.2.7 VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO

La ecuación del periodo , puede escribirse como:
(9.28)

Para linealizar la ecuación potencial aplicamos logaritmos (log).

T* = A + BL* (9.30)

Para validar la ecuación (9.30) , en la practica se deben determinar experimentalmente A y B con los diferentes valores de L con su respectivo periodo. Donde AE y BE deben verificarse por el test de Hipótesis con los valores teóricos.