Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada
UNEFA-Guacara
Sección G-001
Estudio de la ecuación de las ondas. Observaciones, conclusión y
recomendaciones
Onda
una onda es una propagación de una perturbación de alguna propiedad de un
medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, que
se propaga a través del espacio transportando energía. El medio perturbado
puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal
o el vacío.
La propiedad del medio en la que se observa la
particularidad se expresa como una función tanto
de la posición como del tiempo .
Matemáticamente se dice que dicha función es una onda si verifica la ecuación
de ondas:donde v es la velocidad de propagación de la
onda. Por ejemplo, ciertas perturbaciones de la presión de un
medio, llamadas sonido, verifican la ecuación anterior, aunque algunas
ecuaciones no lineales también tienen soluciones ondulatorias, por ejemplo, un
solitón.
Ecuación de onda
La ecuación de onda es un tipo de ecuación diferencial
que describe la evolución de una onda armónica simple a lo largo del tiempo. Esta
ecuación presenta ligeras variantes dependiendo de como se transmite la onda, y del
medio a través del
cual se propaga. Si consideramos una onda unidimensional que se transmite a lo
largo de una cuerda en el eje x, a una velocidad v y con una amplitud u (que
generalmente depende tanto de x y de t), la ecuación de onda es
Trasladado a tres dimensiones, sería
donde es el operador laplaciano.
La velocidad v depende del
tipo de onda y del medio a través del cual viaja.
Jean Le Rond d'Alembert obtuvo una solución general para la ecuación de onda en
una dimensión
Esta solución puede interpretarse como dos impulsos viajando a lo largo del eje
x en direcciones opuestas: F en el sentido +x y G en el -x. Si generalizamos la
variable x, reemplazándola por tres variables x, y, z, entonces podemos
describir la propagación de una onda en tres dimensiones.
La ecuación de Schrödinger describe el comportamiento ondulatorio de las
partículas elementales. Las soluciones de esta ecuación son
funciones de ondas que pueden emplearse para hallar la densidad deprobabilidad
de una partícula.
Onda Simple
Es una perturbación que varía tanto con el tiempo t como con la distancia z de la siguiente manera:
Donde A(z,t) es la amplitud de la onda, k es el número
de onda y Ï• es la fase. La velocidad de fase vf de
esta onda está dada por
Donde λ es la longitud de onda.
Onda estacionaria
Onda estacionaria en un medio estático. Los puntos rojos representan los nodos de la onda. Una onda
estacionaria es aquella que permanece fija, sin propagarse a través del
medio. Este fenómeno puede darse, bien cuando el medio se mueve en sentido
opuesto al de propagación de la onda, o bien puede aparecer en un medio estático
como resultado de la interferencia entre dos ondas que viajan en sentidos
opuestos.
La suma de dos ondas que se propagan en sentidos opuestos,
con idéntica amplitud y frecuencia, dan lugar a una onda estacionaria. Las
ondas estacionarias normalmente aparecen cuando una frontera bloquea la
propagación de una onda viajera (como los extremos de una cuerda, o
el bordillo de una piscina, más allá de los cuales la onda no puede
propagarse). Esto provoca que la onda sea reflejada en sentido opuesto e
interfiera con la onda inicial, dando lugar a una onda estacionaria. Por
ejemplo, cuando se rasga la cuerda de un violín, se
generan ondas transversales que se propagan en direcciones opuestas por toda la
cuerda hasta llegar a los extremos. Una vez aquí son reflejadas de vuelta hasta
que interfieren la una con la otra dando lugar auna onda estacionaria, que es
lo que produce su sonido característico.
Las ondas estacionarias se caracterizan por presentar
regiones donde la amplitud es nula (nodos), y regiones donde es máxima
(vientres). La distancia entre dos nodos o vientres consecutivos es
justamente λ / 2, donde λ es la longitud de onda de la onda
estacionaria.
Propagación en cuerdas
La velocidad de una onda viajando a través de una cuerda en vibración (v) es
directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda (T) por
su densidad lineal (μ):
Ondas lineales
Ondas lineales son las que viajan en una sola direccion, a diferencia de las
que viejan en dispersión
Ondas no lineales
Las ondas son uno de los fenómenos físicos fundamentales de la naturaleza: las
ondas sobre la superficie del agua y los terremotos, las ondulaciones en
resortes, las ondas de luz, las ondas de radio, las ondas sonoras, etcétera.
En general, se acostumbra analizar a las ondas sonoras y de la luz como
la suma de ondas sinusoidales simples. Este es el principio
de superposición lineal. En contraste, cuando se observa cuidadosamente
las ondas en la superficie del agua, se ve que para su
descripción dicho principio no se puede aplicar, excepto cuando se presentan
amplitudes pequeñas. El estudio de las ondas de amplitud pequeña en el agua fue
uno de los principales tópicos de la física del siglo XIX.
Durante mediados del
siglo XX el estudio de muchos fenómenos no lineales, en donde no se satisfaceel
principio de superposición, cobraron especial importancia; por ejemplo, los
haces de láseres en la óptica y las ondas en plasmas exhiben fenómenos
ondulatorios no lineales.
La importancia de tales fenómenos ha llevado a considerar a las ondas no
lineales como
entidades fundamentales de los fenómenos ondulatorios. Si las ondas que se
propagan en un medio de respuesta no lineal y
dispersivo son estables, se llaman solitones.
La historia de los solitones está íntimamente relacionada con la historia de la
conducción del calor
en medios materiales; además del estudio de la
propagación de ondas en la superficie del
agua.
A principios de 1950, Enrico Fermi, John R. Pasta y Stanislaw M. Ulam (FPU) en
Los Álamos, llevaran al cabo experimentos numéricos en cadenas de osciladores
con potenciales de interacción no armónicos. Pensaron que si
la energía se colocaba en el modo de oscilación más bajo (modo de longitud de
onda más largo), eventualmente tomaría lugar la equipartición de la energía.
El tiempo de relajación para que esto ocurriera proporcionaría una medida del
coeficiente de difusión. Para la sorpresa de Fermi y sus colegas la energía del
sistema no se 'termalizó'. Sólo una fracción de la energía se
repartió entre los demás modos y, en un tiempo posterior, grande pero finito,
casi la misma cantidad de energía de volvía a concentrar en el modo más bajo.
Este se conoce en mecánica como un fenómeno de recurrencia,
similar al que se observa en el movimiento de dospéndulos acoplados, en donde
la energía de oscilación permanece en un modo cierto tiempo y después pasa a
otro. Resulta que el tiempo de recurrencia para un
número suficientemente grande de osciladores acoplados excede cualquier tiempo
de observación física relevante y resulta en una conductividad térmica finita.
La explicación de este descubrimiento permaneció en un
misterio hasta que Norman Zabusky y Martin Kruskal comenzaron a estudiar
nuevamente este sistema a principios de 1960. El hecho de que sólo se
'activaran' los modos de vibración de orden más bajo (longitud de
onda larga), les condujo a proponer una aproximación continua del sistema
discreto y estudiar la ecuación diferencial parcial llamada Ecuación de
Korteweg-de Vries o KdV
Esta ecuación había sido obtenida en 1885 por D. J. Korteweg y Gustav de Vries
en la descripción de la propagación de ondas de longitud de onda larga, en agua
poco profunda (canales). A partir de un estudio numérico detallado de la
ecuación, Zabusky y Kruskal hallaron que ésta admite soluciones estables en el
sentido de que las ondas pueden interactuar y preservar sus perfiles y
velocidades iniciales después de la colisión.
Principios Básicos de las Ondas
Las ondas pueden tomar diferentes formas, pero hay dos tipos fundamentales de
ondas: “longitudinales” y “transversales” (ver Figuras 1 y 2). Ambos tipos de ondas son alteraciones o disturbios en movimiento,
pero son diferentes por la manera en la que viajan o se mueven. Cuando
unaonda viaja a través de un medio, las partículas que
constituyen este medio se alteran de su posición “en equilibrio” o en reposo. En las ondas longitudinales, las partículas son alteradas en
dirección paralela a la dirección que la onda propaga. El video clip
siguiente que muestra una onda transversal ofrece una visualización dínamica de
este tipo de onda. Después de que cualquier tipo de
onda pasa a través de un medio, las partículas vuelven
a su posición de equilibrio. Por consiguiente, las ondas viajan a través de un medio sin un desplazamiento neto de las partículas del medio.
Ilustración de una onda longitudinal
Las ondas sonoras constituyen ejemplos de ondas longitudinales: las partículas
individuales (moléculas de aire) vibran de atrás para adelante en la dirección
en la que viaja el sonido. Un ejemplo de onda
transversal es el fenómeno clásico del estadio
deportivo conocido como
“La Onda.” A medida que la onda viaja alrededor del estadio, cada
espectador se para y después de sienta. Por consiguiente, el
desplazamiento de las “partículas” es perpendicular a la dirección en que viaja
la onda. Muchas otras ondas, tales como las ondas oceánicas o las
Ondas de Superficie Rayleigh son combinaciones de movimientos de ondas
longitudinales y ondas transversales.
Descripción de las Ondas
Todas las ondas que hemos descrito hasta ahora son ejemplos de “ondas
periódicas,” en la medida que comportan un movimiento
cíclico. Las ondas viajan através del
espacio y del
tiempo, y pueden ser descritas en términos de sus características en ambas de
estas dimensiones. Imagine un Slinky, el juguete que
consiste en una larga pieza de metal o plástico enrollado. Al sacudir un extremo del slinky de
una manera periódica, es posible producir una onda transversal, tal como se muestra en las
figuras siguientes.
La amplitud y la longitud de onda se miden en metros.
La amplitud de la onda sigue teniendo la misma medida que antes - el
desplazamiento máximo de su punto desde su posición de equilibrio. El periodo
de una onda (T) es el tiempo (medido en segundos) que el punto requiere para
completar un ciclo entero de su movimiento, desde su
punto más alto, a su punto más bajo, y nuevamente a su punto más alto.
La frecuencia de una onda (f) (no está indicada en la figura) es la medida de
cuán frecuentemente el punto completa un ciclo de su
movimiento. En otras palabras, la frecuencia es el número de ciclos de las
ondas, completado por un punto a través de la onda en
un periodo de tiempo. La frecuencia de la onda está relacionada con el periodo
de la onda por la siguiente ecuación:
Donde f es la frecuencia y T es el período. La frecuencia se mide en ciclos por
segundo, o hertz (Hz). Si el período de una onda es de 10 segundos (por
ejemplo, le toma 10 segundos a la onda completar un ciclo), entonces la
frecuencia es de 0.1 Hz. En otras palabras, la onda completa 0.1 ciclos cada
segundo.
