La Enseñanza de la División en los tres ciclos de la EGB

¿Por qué la enseñanza de la división?
Muchos docentes solicitaron trabajar en torno a este contenido dada la gran cantidad de problemas que encontraban para su enseñanza: dificultades de los alumnos para apropiarse del algoritmo, especialmente con divisores de dos cifras, ausencia de estimación previa y de control posterior acerca de los resultados obtenidos; no reconocimiento de la división como recurso para resolver ciertos tipos de problemas. Otra dificultad habitual mencionada por los docentes fue la asociación de la palabra “repartir” a la operación de división que realizaban los alumnos.

Problemas “de dividir” desde primer grado

Los niños estan en condiciones de resolver mediante diversos procedimientos problemas de reparto y partición desde mucho antes de dominar recursos de calculo.
Enfrentar a los alumnos desde los primeros años de escolaridad a este tipo de problemas les permite, por una parte, aprender a elaborar estrategias propias de resolución de problemas. Y por otra parte, el proceso de construcción del sentido de dicha operación.


Problemas de reparto con varias soluciones
La finalidad esta en lograr que los niños analicen frente a los enunciados de los problemas, si hay o no una restricción de reparto equitativo. Leer enunciados, revisarlos, transformarlos, considerar la cantidad de soluciones posibles, etc. forma parte de la tarea de aprender a resolver un problema.
Promover reflexiones acerca de que hay repartos equitativos y no equitativos.Problemas de reparto equitativo
Los niños de los primeros años de la EGB, cuando no disponen de un algoritmo para dividir, utilizan diversos procedimientos para resolver los problemas.
Generar clases de matematica, en las cuales el ambiente de trabajo es propicio para la producción y elaboración de estrategias diversas.
El registro de las conclusiones o de los diversos recursos posibles en carteles en el aula y en cuadernos, ayudara a los alumnos a apropiarse de lo producido en la clase.

Problemas en los que hay que decidir qué hacer con lo que sobra
Es importante desde los primeros contactos con los problemas de reparto enfrentar a los alumnos a tener que analizar qué hacer con los elementos que sobran.

Diferentes tipos de problemas de división
En el segundo ciclo se aspira a que los alumnos recurran al algoritmo de la división para enfrentarse a este tipo de problemas. Aunque algunos aún utilicen otros recursos, sera parte de la tarea a desarrollar, lograr que todos reconozcan esta operación como la mas económica.

Problemas de iteración
Hay otro tipo de problemas para los cuales la división es una herramienta apropiada. Se trata de aquellos en lo que hay que “encontrar cuantas veces entra un número adentro de otro”, aunque los contextos en los que se presentan no den cuenta “inmediatamente” de esta relación.
Problemas de analisis del resto
Hemos planteado anteriormente problemas en los que “hay que decidir qué hacer con lo que sobra” para el trabajo en los primeros años. Una vez que los niños ya conocen el algoritmo dela división, este tipo de problemas apunta en una nueva dirección: analizar el significado del resto en el calculo.

Calculos aproximados, mentales, algorítmicos y con calculadora para resolver problemas de división
En la escuela los alumnos deben adquirir variados recursos de calculo, como objeto de estudio en la escuela la variedad de estrategias de calculo mental, por ser éste un calculo reflexionado, en donde los alumnos pueden tener control de las acciones que realizan. Y también en señalar numerosos riesgos de que los alumnos solamente utilicen en la escuela los algoritmos convencionales, dejando afuera infinidad de recursos.
Se incluye dentro de la concepción que adoptamos de calculo mental tanto el calculo exacto como el aproximado, el oral como el escrito. A partir de muchas dificultades - ya comentadas – que los docentes planteaban en relación con los resultados que los niños obtenían en sus calculos de dividir, hemos abordado en los encuentros actividades diversas que les permitan a los docentes trabajar en las aulas para que sus alumnos puedan obtener siempre antes de realizar un calculo algorítmico o con calculadora, resultados estimativos previos y controlar posteriormente los resultados exactos.
Otro tipo de actividades de calculo mental abordadas involucraban obtener resultados de ciertos calculos apoyandose en propiedades de los números y las operaciones. Por ejemplo: “Sin hacer la cuenta, determinar la cantidad de cifras que tendra el cociente de dividir 123.456 por 24”, o bien,
“Para dividir 2438 por 8 unalumno hizo 2438: 2 y obtuvo 1219. ¿Cómo seguirías este calculo “Sabiendo que 9000: 2 = 4500 calcular 9000: 4; 27000: 6 y 90000: 20; etc.
Del mismo modo, hoy es habitual considerar la calculadora como una herramienta necesaria de ser utilizada diariamente en la escuela desde primer año para resolver problemas cuyo objetivo no es el calculo.
Se propone también su uso diario desde los primeros años en el aula como instrumento de control de otros calculos realizados y como medio para analizar propiedades de las operaciones. Ya en segundo ciclo incluso como objeto de estudio en sí misma analizando sus propiedades y límites, etc.
Por ejemplo, algunos posibles tipos de problemas de división con calculadora son los siguientes: “Encontrar el resultado de hacer 2356: 22 con la calculadora, pero no se puede oprimir la tecla del 2 pues no funciona”, o bien “Juan hizo con la calculadora 5425 dividido 15 y obtuvo 339,0625. ¿Cómo hacer, a partir de este resultado, para encontrar el resto usando la calculadora?”
Para ello, hemos propuesto a los docentes de tercer año trabajar en esta pequeña secuencia de actividades
- Resolución de problemas diversos de división, comparación y analisis de las estrategias utilizadas.
- Difundir la idea de que todos estos problemas se pueden resolver sumando, restando, multiplicando, etc.
-Analisis de escrituras diversas para registrar los calculos
-Dominio de un conjunto de calculos multiplicativos (todos los relativos a la tabla pitagórica y multiplicaciones por la unidad seguida de ceros: 8 x 20; 45x 1000; 6 x50, etc.)
-Resolución de calculos mentales “horizontales” de divisiones con y sin resto (1000: 4; 3000: 6; 4500: 9; etc. y 51: 10 = 5 y sobra 1; 43: 4 = 10 y sobra 3
- Presentación de un algoritmo “desplegado” (con multiplicaciones, restas y tratando globalmente el número, sin descomponerlo).
Los niños en contextos extraescolares, por necesidades de índole social, producen estrategias de calculo propias. Estas, en general, en la escuela, no son reconocidas. Y paradójicamente la escuela, les ofrece numerosas veces otros recursos de calculo “oscuros a sus ojos”, obsoletos presentados como si fueran los únicos. Y sin mostrar los vínculos entre unos y otros.
Desarmar este circuito que conduce a la discriminación y al fracaso de tantos niños en la escuela, es una de nuestras urgencias

Las relaciones entre Dividendo, divisor, cociente y resto un objeto de estudio para el tercer ciclo.

La división entera puede ser un objeto de trabajo también en el tercer ciclo. La intención es que los alumnos se enfrenten a una nueva variedad de problemas a través de los cuales deban volver a analizar la relación Dividendo= cociente x divisor + resto; resto < divisor. Pero, en este ciclo, la división no solo permitira resolver problemas de reparto o iteración, sino también, analizar y anticipar resultados. Es decir, se intenta que los alumnos puedan centrar el analisis en las condiciones que cumple cada uno de los números que intervienen en la “fórmula” D = c x d + r (r < d), haciendo explícitas ciertas características de la relación.Contenidos sobre la división en el Primer ciclo13
- Interpretación de los significados y usos de las cuatro operaciones basicas con números naturales, elaborando e implementando estrategias de calculo en forma exacta y aproximada, produciendo y resolviendo situaciones problematicas.
- Estimación e interpretación de resultados de calculos en forma mental, por escrito y con uso de calculadora, comprobando su razonabilidad y justificando los procedimientos empleados.
- Resolución de problemas de reparto y partición mediante diferentes procedimientos (dibujos, conteo, sumas o restas reiteradas) en primero y segundo año
- Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la división (partición, reparto, organizaciones rectangulares, series proporcionales, iteración, etc.) por medio de variados procedimientos
(Sumas o restas reiteradas, multiplicaciones) en segundo y tercer año.
- Dominio progresivo de variados recursos de calculo que permitan realizar divisiones: sumas sucesivas, restas sucesivas, aproximaciones mediante productos, uso de resultados multiplicativos en combinación con restas, etc, entre segundo y tercer año.
- Utilización de resultados numéricos conocidos y de las propiedades de los números y las operaciones para resolver otros calculos. Explicitación, por parte de los alumnos, de las estrategias utilizadas. Comparación posterior de las mismas, en los tres primeros años.
- Calculos mentales de multiplicaciones y divisiones apoyandose en resultados conocidos, en propiedades del sistema de numeración o delas operaciones, en segundo y tercer año.
- Elaboración de distintas estrategias de calculo aproximado para resolver problemas en los cuales no sea necesario un calculo exacto.
- Construcción del algoritmo desplegado de la división a partir de los recursos elaborados por lo alumnos en tercer año.

Contenidos sobre la división en el Segundo ciclo
- Comprensión del significado y aplicación de las operaciones basicas con números naturales
- Utilización adecuada de los algoritmos convencionales, justificando las
estrategias desarrolladas
- Resolución de problemas de organizaciones rectangulares utilizando la multiplicación y la división en cuarto año.
- Resolución de problemas de reparto - con incógnita tanto en la cantidad de partes como en el valor de cada parte –utilizando el algoritmo de la división o procedimientos de calculo mental en cuarto y quinto años.
- Resolución de problemas de división que involucren un analisis del resto en cuarto y quinto años.
- Elaboración de distintas estrategias de calculo exacto y aproximado
(Algorítmico, mental o con calculadora).
- Estimación del resultado de multiplicaciones y divisiones y calculo de número de cifras de cociente en cuarto y quinto años.
- Construcción del algoritmo de la división en cuarto año a partir del algoritmo desplegado utilizado en tercer año.
- Resolución de problemas de iteración inicialmente por medio de restas o sumas sucesivas, de multiplicaciones y luego por medio de divisiones en quinto y sexto años.
- Utilización de las relación D = c x d + r y r