1.1 CONCEPTO DE ESTRUCTURA EN INGENIERÍA MECÁNICA
Una estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo
de construcción formada por uno o varios elementos enlazados entre sí que están
destinados a soportar la acción de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos.
Esta definición es quizás excesivamente simplista, ya que al emplear los
términos “elementos enlazados entre sí”, se induce a pensar en estructuras
formadas por componentes discretos, por lo que sólo puede servir como
una primera definición. La realidad es que las estructuras con componentes
discretos son muy frecuentes en la práctica por lo que su estudio resulta del
máximo interés. Además lo habitual es que los elementos sean
lineales, del tipo pieza prismática, conocidos
como vigas o barras, y cuyo comportamiento
estructural individual es relativamente fácil de estudiar, como se hace en Resistencia de Materiales.
Con la definición anterior serían ejemplos de estructuras una viga, un puente metálico, una torre de conducción de energía, la
estructura de un edificio, un eje La definición anterior puede generalizarse
diciendo que una estructura es cualquier dominio u extensión de un medio material sólido, que está destinado a soportar
alguna acción mecánica aplicada sobre él. Esta definición amplía el concepto de
estructura a sistemas continuos donde no se identifican elementos estructurales
discretos, como
por ejemplo: la carrocería de un automóvil, la bancada de una
máquinaherramienta, un depósito de agua, un ala de avión, una presa de
hormigón, que no estaban incluidas en la idea inicial. De esta manera se
introduce en realidad el estudio de problemas de mecánica de sólidos en medios
continuos, que requieren del empleo de métodos sofisticados
de análisis. Por esta razón este texto se limita al
estudio de estructuras formadas por elementos discretos, de directriz
habitualmente recta y en algunos casos curva.
Curso de análisis estructural
En las definiciones anteriores se dice que actúan sobre la estructura unas
cargas, que normalmente son de tipo mecánico, es decir fuerzas o pares. También
se considera la posibilidad de otros efectos, como: variaciones en la temperatura del material de la
estructura, movimientos conocidos de los apoyos, errores en la longitud y forma
de los elementos, esfuerzos de pretensión durante el montaje, etc. Todos estos efectos dan lugar a unas cargas mecánicas equivalentes,
por lo que resulta fácil considerarlos. Respecto a la forma en que la
estructura debe soportar las cargas no es fácil poner un
límite claro. Quizás lo más general sea decir que la estructura debe tener un estado de tensiones y deformaciones tal que no se produzca
un fracaso estructural que lleve a la destrucción de la misma, en ninguno de
los estados de carga posibles. Por debajo de este
amplio límite se imponen limitaciones más estrictas en función del tipo de estructura y
de su aplicación concreta. La limitación que siempre se impone es la del
valor máximo delas tensiones que aparecen en el material, en cualquier punto de
la estructura, a fin de evitar su rotura. Este es el caso de
edificios, naves industriales, bastidores de vehículos y maquinaria, tuberías,
etc. Además de la limitación en las tensiones, es también muy habitual
imponer un límite a las deformaciones de la estructura, bien por motivos
funcionales (p.e. bastidores de máquinas), estéticos, o de resistencia de los
elementos que apoyen sobre la estructura (tabiques de edificios de viviendas).
En estructuras sofisticadas las tensiones alcanzadas pueden ser muy grandes,
llegando a sobrepasar el límite elástico, y permitiéndose incluso la existencia
de alguna grieta, cuyo tamaño máximo es entonces el límite para el buen
funcionamiento estructural, siempre bajo severas condiciones de control (esto
ocurre por ejemplo en tecnología nuclear). En otros casos más complejos la
idoneidad de la estructura viene controlada por la ausencia de inestabilidades
en la misma (pandeo), o incluso porque su respuesta dinámica sea la adecuada
(por ejemplo en brazos de manipuladores, antenas, …).
El problema que trata de resolver el Análisis Estructural es la determinación del
estado de deformaciones y tensiones que se producen en el interior de la
estructura, a consecuencia de todas las acciones actuantes sobre ella. Como consecuencia también se determinan las reacciones que aparecen en
la sustentación de la estructura. Una vez conocidas las tensiones y
deformaciones, el decidir si éstas son admisibles y si laestructura está en
buen estado de funcionamiento, es objeto de otras materias específicas como el
diseño de estructuras metálicas o de hormigón armado, la construcción de
máquinas, etc, y a veces la propia experiencia y sentido común del analista.
Como primeras reseñas históricas sobre Análisis Estructural se debe citar a
Leonardo da Vinci y a Galileo1, que fue el primero en estudiar el fallo de una
viga en voladizo. Posteriormente han sido muy
numerosos los autores que han colaborado al desarrollo del estudio de las estructuras. Una excelente revisión de la contribución de todos ellos ha sido
publicada por Timoshenko en 1953. Asimismo una
revisión bibliográfica muy detallada
Galileo Galilei, “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove
science”, 1638. Traducción al inglés: The Macmillan Company, New York, 1933.
1
Introducción al análisis estructural
3
sobre los fundamentos teóricos del Análisis Estructural ha sido
publicada por Oravas y McLean, en 1966. La concepción de una estructura, por
parte del
ingeniero, se desglosa en tres fases: fase de planteamiento, fase de diseño y
fase de construcción. En la fase de diseño, que es la que interesa para el
análisis estructural, se pueden distinguir a su vez las siguientes etapas:
Determinación de la forma y dimensiones generales: se eligen el tipo de
estructura y la geometría de la misma, de acuerdo con su funcionalidad y la
normativa aplicable. Se determinan asimismo los materiales principales a utilizar. Determinación de lascargas: se determinan las
fuerzas exteriores que actúan sobre la estructura, así como todos aquellos efectos que puedan
afectar a su comportamiento (errores de forma, movimientos de los apoyos, …). Análisis. Consiste en
determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la
estructura como
consecuencia de las cargas actuantes. Para
efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder primero a su
idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo
cálculo sea posible efectuar. Esta idealización se hace
básicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los
elementos que forman la estructura, sobre la forma en que éstos están unidos
entre sí, y sobre la forma en que se sustenta. Una vez idealizada la
estructura se procede a su análisis, calculando las deformaciones y esfuerzos
que aparecen en ella, y utilizando para ello las
técnicas propias del
Análisis Estructural. Para este análisis siempre se
dispone, como
datos de partida, de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones
de la estructura, determinadas en las fases anteriores. Salvo en casos muy
simples, para el análisis de la estructura es necesario conocer las dimensiones
transversales de los elementos que la componen, pero ocurre que estas
dimensiones están básicamente determinadas por los esfuerzos internos que
aparecen sobre ellos, y que en principio son desconocidos. Por esta razón el
análisis de una estructura suele ser en general iterativo, hasta lograr unos
esfuerzos internosy unas deformaciones que sean
adecuados a las dimensiones transversales de los elementos. Para
comenzar este proceso iterativo de análisis se deben
imponer unos valores para las dimensiones transversales de los elementos,
basándose en la experiencia, o en un predimensionamiento, que normalmente se
basa en hipótesis simplificativas. Diseño de detalles.
Son propios de la tecnología usada en la construcción de la estructura: nudos
de unión, aparatos de apoyo, armaduras de hormigón, etc. El
análisis de estructuras no interviene en esta fase.
1.2 DEFINICIONES GENERALES
Para que el análisis de una estructura sea
correcto es necesario que la idealización que de ella
se haga se acerque lo más posible a su comportamiento real. Para efectuar esta
idealización existen diversos aspectos a tener en cuenta, como son: •
Disposición espacial de la estructura: puede ser en una, dos o tres
dimensiones.
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Curso de análisis estructural • Tipo de cargas actuantes: estáticas o
dinámicas, según que sean constantes en el tiempo o
variables con él. • Tipo de elementos que forman la estructura: elementos
discretos (piezas prismáticas), elementos continuos, o incluso estructuras
mixtas. • Tipo de uniones estructurales entre los elementos: articuladas,
rígidas (habitualmente llamadas empotradas), o flexibles. • Comportamiento del
material: puede ser elástico, cuando al desaparecer las cargas el material
vuelve a su estado inicial o no (por ejemplo si hay plasticidad). Dentro de los materiales elásticos el caso máshabitual es el lineal,
cuando la tensión y la deformación unitaria son proporcionales. •
Pequeñas deformaciones: cuando la posición deformada de la estructura coincide
sensiblemente con su posición sin deformar. Esto simplifica la relación entre
las deformaciones unitarias y los desplazamientos de un
punto, que es lineal. En caso contrario se trata de un
problema de grandes deformaciones, y la relación entre deformaciones unitarias
y desplazamiento no es lineal.
De entre todos estos aspectos, en este texto se estudian estructuras de las
siguientes características: estructuras formadas por elementos discretos,
sometidas a cargas no variables con el tiempo, es decir en régimen estático,
con uniones entre los elementos rígidas, articuladas o flexibles, extendidas en
una, dos o tres dimensiones, formadas por un material con comportamiento
elástico lineal, y con pequeñas deformaciones.
1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
Efectuar una clasificación detallada de las estructuras no es tarea fácil, pues
depende de la tecnología y materiales usados para su construcción y del
uso que se da a la estructura. Por esta razón sólo se
incluyen aquí los tipos más usuales de estructuras, atendiendo a sus
diferencias desde el punto de vista de su análisis, pero no desde el punto de
vista de su funcionalidad. Ya las primeras definiciones del
concepto de estructura orientan a considerar dos grandes tipos de ellas: con
elementos discretos o con elementos continuos. Ambos tipos se
detallan a continuación. 1.3.1Estructuras con elementos discretos
En estas estructuras se identifican claramente los elementos que la forman.
Estos elementos se caracterizan por tener: ◊ una dimensión longitudinal
mucho mayor que las otras dos,
Introducción al análisis estructural
5
◊ el material agrupado alrededor de la línea directriz del elemento, que
normalmente es recta. Estos elementos son por lo tanto piezas
prismáticas y se denominan habitualmente vigas o barras. Los puntos de
unión de unos elementos con otros se llaman nudos y cada elemento siempre tiene
dos nudos extremos. Con esto la estructura se asemeja a una retícula formada
por los distintos elementos unidos en los nudos. De hecho a
estas estructuras se les denomina habitualmente reticulares. La unión de unos
elementos con otros en los nudos puede hacerse de distintas formas, siendo las
más importantes: ◊ unión rígida o empotramiento, que impone
desplazamientos y giros comunes al elemento y al nudo, de tal manera que entre
ellos se transmiten fuerzas y momentos, ◊ articulación, que permite giros
distintos del elemento y del nudo, y en la que no se transmite momento en la
dirección de la articulación, ◊ unión flexible, en la que los giros del
elemento y el nudo son diferentes, pero se transmite un momento entre ambos
elementos. Los tipos más importantes de estructuras reticulares son: • Cerchas
o celosías. Están formadas por elementos articulados entre
sí, y con cargas actuantes únicamente en los nudos. Los elementos
trabajan a esfuerzo axial, y no hayflexión ni
cortadura. Por su disposición espacial pueden ser planas o
tridimensionales. • Vigas. Están formadas por
elementos lineales unidos rígidamente entre sí, y que pueden absorber esfuerzos
de flexión y cortadura, sin torsión. También pueden
absorber esfuerzo axial, pero éste está desacoplado de los esfuerzos de flexión
y cortadura, en la hipótesis de pequeñas deformaciones. • Pórticos
planos. Son estructuras compuestas por elementos prismáticos, unidos
rígidamente entre sí, y dispuestos formando una retícula plana, con las fuerzas
actuantes situadas en su plano. Estas estructuras se
deforman dentro de su plano y sus elementos trabajan a
flexión, cortadura y esfuerzo axial. • Pórticos espaciales. Son
similares a los anteriores, pero situados formando una retícula espacial.
Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial,
torsión y flexión en dos planos. • Arcos. Son estructuras
compuestas por una única pieza, cuya directriz es habitualmente una curva
plana. Absorben esfuerzos axiales, de flexión y de
cortadura. Como caso general existen también los arcos espaciales, cuya directriz
es una curva no plana. En muchas ocasiones los arcos se encuentran
integrados en otras estructuras más complejas, del tipo pórtico plano o espacial. • Emparrillados planos. Son
estructuras formadas por elementos viga dispuestos formando una retícula plana,
pero con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Se deforman
perpendicularmente a su plano, y sus elementos trabajan a
torsión y flexión. La figura 1.1 muestraalgunos ejemplos de los tipos
anteriores.
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Curso de análisis estructural
Viga
Celosía plana
Celosía espacial
Pórtico plano
Pórtico espacial
Emparrillado
Arco
Figura 1.1
1.3.2
Estructuras con elementos continuos
En esta estructuras no se identifica a priori ninguna dirección preponderante y
el material está distribuido de manera continua en toda la estructura. El concepto de nudo estructural tampoco puede introducirse de forma
intuitiva y simple. Su análisis es más complejo que para las estructuras
reticulares y no se aborda en este texto. Sin embargo, a continuación se resumen los casos más habituales de
estructuras continuas. • Membranas planas. Consisten en un material continuo, de espesor pequeño frente a sus
dimensiones transversales, situado en un plano
y con cargas contenidas en él. Corresponde al problema de elasticidad
bidimensional, y son el equivalente continuo de un
pórtico.
Introducción al análisis estructural
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• Placas. Consisten en un medio continuo plano, de espesor pequeño frente a sus dimensiones
transversales, con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Son el equivalente continuo de un emparrillado plano.
• Sólidos. Son medios continuos tridimensionales sometidos a un
estado general de tensiones y deformaciones. • Cáscaras. Son
medios continuos curvos, con pequeño espesor. Son el
equivalente a la suma de una membrana y una placa, pero cuya superficie
directriz es curva.
1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS
Acontinuación se resumen los principales métodos de análisis estructural para
estructuras discretas, no pretendiéndose hacer una clasificación exhaustiva,
sino sólo indicar los más importantes. Se presentan englobados en cuatro
grandes bloques, en base a su naturaleza. • Soluciones
analíticas. Consisten en resolver directamente las ecuaciones
que controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a
casos sencillos. ◊ Integración de la ecuación de
la elástica en vigas. ◊ Teoremas de Mohr para
vigas. ◊ Método de la viga conjugada para vigas.
• Empleo de las ecuaciones de la estática: sólo se pueden aplicar a estructuras isostáticas. ◊ Método
del equilibrio de los nudos para celosías. ◊
Método de las secciones para celosías. ◊ Método
de la barra sustituida para celosías. • Métodos basados en la
flexibilidad. ◊ Principio del Trabajo Virtual
Complementario y principio del
potencial complementario estacionario. ◊ Segundo
teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. ◊
Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser.
◊ Método de la compatibilidad de deformaciones en
vigas. ◊ Fórmula de los tres momentos para
vigas. ◊ Principio de Müller-Breslau para cargas
móviles. • Métodos basados en la rigidez. ◊ Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. ◊ Primer teorema de Castigliano. ◊
Método de rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo.
◊ Método de la distribución de momentos, o de Cross,
para pórticos planos.
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Curso de análisis estructural
1.5 CONDICIONES DE SUSTENTACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
Para que una estructura pueda considerarse como tal, debe estar en equilibrio bajo la
acción de todas las fuerzas que actúan sobre ella, entre las que se incluyen
tanto las acciones exteriores conocidas, como
las reacciones desconocidas en los puntos de sustentación. En el equilibrio de
la estructura juega un papel fundamental la forma en
que la estructura se halla unida a su sustentación, que se efectúa
habitualmente a través de uno o varios puntos de apoyo, cada uno de los cuales
introduce una o varias restricciones al movimiento de la estructura. Se denomina
condición de ligadura (o simplemente ligadura, o también condición de apoyo) a
una condición que define la deformación en un punto y
una dirección dados de la estructura. Como
cada ligadura define la forma en que la estructura puede deformarse en el punto
y la dirección donde está aplicada, aparece una fuerza o momento desconocido en
la dirección de la ligadura, denominada fuerza o momento de reacción. Esta fuerza de reacción es la fuerza que la sustentación debe hacer
para que se satisfaga la condición de ligadura. Las ligaduras son
direccionales, es decir que cada una de ellas actúa en
una sola dirección del
espacio. Sin embargo las condiciones de apoyo habituales de
las estructuras hacen que varias ligaduras aparezcan agrupadas, introduciendo
simultáneamente varias condiciones de deformación. Siempre
se cumple que en la dirección donde hay unaligadura aplicada se conoce el valor
de la deformación (normalmente dicho valor es cero), y se desconoce el valor de
la reacción que aparece. En el caso de desconocerse el valor de la
deformación se dice que no hay ninguna ligadura aplicada, y en ese caso se conocerá el valor de la fuerza exterior aplicada
en esa dirección, estando la deformación controlada por el comportamiento de la
estructura. A continuación se describen los tipos de apoyos
más habituales que pueden encontrarse en las estructuras, indicando las
condiciones de ligadura que introducen. 1.5.1 Estructuras planas
Apoyo deslizante o de rodillos Impide el desplazamiento perpendicular a la
línea de apoyo, y su reacción es una fuerza perpendicular a dicha línea. Se supone sin rozamiento y bidireccional, es decir que es capaz de
ejercer reacción en los dos sentidos (a pesar de la forma sencilla que se
emplea para su representación). Este apoyo no influye en el giro de la
estructura, que puede tener uno o varios giros, en función de la forma en que
los distintos elementos estructurales se unan al nudo, como se muestra en la
figura 1.2.
Introducción al análisis estructural
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θ
V
θ1 aˆ†
V
θ2 aˆ†
V
θ aˆ†
Figura 1.2
Apoyo articulado No permite ningún tipo de desplazamiento, y su reacción es una
fuerza de dirección arbitraria, que equivale a dos fuerzas según dos ejes
ortogonales. Este apoyo no influye en el giro de la
estructura, que puede tener uno o varios giros, en función de la forma en que
los distintos elementosestructurales se unen al nudo (figura 1.3).
θ1
H V
θ2
H V
θ
H
V
Figura 1.3
Empotramiento No permite ningún desplazamiento ni el giro. Su reacción son dos
fuerzas (H y V) contenidas en el plano de la estructura, y un
momento M perpendicular a él (figura 1.4).
V H M
Figura 1.4
Empotramiento deslizante Permite únicamente el desplazamiento en una dirección,
pero impide el desplazamiento en la dirección perpendicular y también el giro.
Se trata por lo tanto de un caso particular del empotramiento, pero
que permite el deslizamiento en una dirección determinada. Su
10
Curso de análisis estructural
reacción es una fuerza perpendicular al eje de deslizamiento H, y un momento M perpendicular al plano de la estructura (figura 1.5). Este tipo de apoyo no suele encontrarse habitualmente en la
realidad, pero aparece cuando se emplean simplificaciones para considerar la
simetría de una estructura.
aˆ†
M H
Figura 1.5
Apoyo flexible El apoyo flexible está constituido por un
punto de la estructura que está unido a la sustentación mediante uno o varios
muelles, como
se muestra en la figura 1.6. En general puede haber
constantes de rigidez distintas en cada dirección, pudiendo ser cero en alguna
de ellas (dirección libre). Asimismo el apoyo elástico puede coexistir con
otras condiciones de ligadura.
aˆ†Y aˆ†X
KX KY
KX
θ
aˆ†X
Kθ
Figura 1.6
Es habitual incluir el apoyo flexible en la descripción de los tipos de apoyos,
pero en sentido estricto este apoyo no es unacondición
de ligadura para la estructura, pues no es un punto en el que se conoce el
valor de la deformación. En efecto, no se conocen ni
el desplazamiento del nudo ni la fuerza en el
muelle, sino únicamente la relación entre ellos, que es la constante de rigidez
del muelle: la fuerza en el muelle es
proporcional a la deformación del
apoyo y la reacción de la sustentación es igual a la fuerza en el muelle. Esta
igualdad entre la fuerza en el muelle y la reacción de la sustentación es la
que hace que este nudo se considere a veces como un apoyo, aunque como se ha dicho no lo es. Se trata por lo
tanto de un nudo de la estructura como
cualquier otro, al que llegan una serie de elementos estructurales y además el
muelle, que debe considerarse como
uno más. En este sentido, siempre se considerarán aquí
los muelles como
elementos estructurales, y se les dará el mismo tratamiento que a los demás.
1.5.2 Estructuras tridimensionales
Rótula esférica Es el equivalente tridimensional de la articulación plana. No
permite ningún desplazamiento, y sí permite los tres giros. Su reacción son
tres fuerzas ortogonales (o un vector fuerza de
dirección arbitraria), como
se indica en la figura 1.7.
Introducción al análisis estructural
Z
11
RZ
X
RX
Y
RY
Figura 1.7
Apoyo deslizante sobre un plano
Se trata de un punto que puede moverse apoyado sobre todo un plano, el cual puede ser uno de los planos
coordenados, u otro cualquiera. Su reacción es una fuerza normal al plano de deslizamiento(figura 1.8). No influye en los giros que pueda
tener la estructura, que podrán ser uno o varios, en función de la forma en que
los distintos elementos estructurales se unan al nudo.
Z
RZ
Y
X
Figura 1.8
Apoyo deslizante sobre una recta. En este caso el
punto de apoyo está obligado a moverse sobre una recta conocida, por lo que el
único desplazamiento posible es en la dirección de dicha recta (figura 1.9). La
reacción son dos fuerzas perpendiculares a la recta (H, V). Al
igual que en caso anterior, esta condición de ligadura no influye sobre los
giros.
Z
V
Y
X
H
Figura 1.9
12 Empotramiento deslizante prismático
Curso de análisis estructural
En este caso el punto de apoyo se mueve sobre una
recta, pero no tiene ninguna posibilidad de giro, como se muestra en la figura 1.10. Existe por
lo tanto un sólo grado de libertad, que es el
desplazamiento en la dirección de la recta. La reacción tiene cinco
componentes: dos fuerzas perpendiculares a la recta (V y T) y tres momentos ( ML, MV y MT).
V
aˆ†
MT T
Figura 1.10
MV ML
Empotramiento deslizante cilíndrico En este caso el
punto puede deslizar sobre una recta y además puede girar respecto a ella.
Existen por lo tanto dos grados de libertad: el desplazamiento en la dirección
de la recta y la rotación alrededor de ella (figura
1.11). La reacción tiene cuatro componentes: dos fuerzas perpendiculares a la
recta (V y T), y dos momentos también perpendiculares a ella
(MV y MT).
Z
Y X
V MV MT
aˆ† θ
Figura 1.11T
1.6 CONDICIONES DE CONSTRUCCIÓN
Los distintos elementos que componen una estructura reticular se pueden unir
básicamente de dos formas: • De forma totalmente rígida, transmitiéndose entre
los elementos unidos todas las fuerzas y momentos posibles: tres fuerzas y tres
momentos en el caso espacial, y dos fuerzas y un momento en el caso plano. En este caso todas las deformaciones de los elementos unidos
son iguales. • Mediante uniones imperfectas, que permiten un
cierto movimiento relativo entre los elementos unidos. Estas
uniones imperfectas se obtienen a base de anular la capacidad de transmisión de
alguno de los esfuerzos transmitidos entre los elementos. Al
Introducción al análisis estructural
13
eliminarse esta capacidad de transmitir algún esfuerzo, aparece un movimiento relativo entre los elementos, en la dirección del esfuerzo anulado. Se
denominan condiciones de construcción a estas
condiciones de esfuerzo nulo impuestas a las uniones entre los elementos de la
estructura. Su presencia juega un papel importante en
la estabilidad de la estructura, o en su naturaleza isostática o hiperestática.
Los tipos más importantes de condiciones de construcción se
indican en la tabla 1.1. Tipo Articulación (o rótula) Esfuerzo anulado
Momento flector Representación
Deslizadera
Esfuerzo cortante
Deslizadera axial
Esfuerzo axial
Articulación a torsión
Momento torsor
Rótula esférica
Dos momentos flectores, y un momento torsor
Tabla 1.1
Puede ocurrir que en un mismopunto existan varias condiciones de construcción,
que se deben ir identificando de manera independiente, y cuyos efectos se
suman. Así por ejemplo, la rótula esférica está compuesta por
dos articulaciones según dos ejes perpendiculares al elemento y una
articulación a la torsión. Ejemplo En un nudo
totalmente articulado de una estructura plana, al que llegan n barras, el
número de condiciones de construcción es n-1. La ecuación n-sima es la ecuación
estática de suma de momentos nulos en el nudo.
M1=0
M2=0 M3=-M1-M2=0
14
Curso de análisis estructural
1.7 ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIÓN EXTERNO
Para analizar una estructura se debe
establecer en primer lugar el diagrama de sólido libre de toda ella. En este diagrama se considera
a toda la estructura como un sólido rígido, y se
sustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se
obtienen tantas incógnitas como
reacciones haya, en número r. A este conjunto se le
aplica un estudio de estabilidad. La estática facilita q=3 ecuaciones de
equilibrio en el caso plano, y q=6 ecuaciones en el
espacial. En función de como sea el número de reacciones
incógnita, en relación con este número de ecuaciones de equilibrio se presentan
tres casos diferentes. Suponiendo que no hay condiciones de construcción en la
estructura, es decir que las uniones en todos los nudos son rígidas, dichos casos son: A. El número de reacciones es menor que el
de ecuaciones de equilibrio rq. La estructura está estáticamente indeterminada
enprincipio, y se dice que es externamente hiperestática: es necesario
introducir nuevas condiciones, además de las de la estática, para calcular las
reacciones exteriores. Al igual que en el caso anterior esta condición es
necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en
exceso, éstas tengan una disposición espacial tal que
no impidan la existencia de algún tipo de inestabilidad en alguna otra
dirección. Normalmente los casos de inestabilidad externa suelen ir acompañados
de algún tipo de hiperestaticidad externa en alguna otra dirección, de tal manera que el cómputo global de incógnitas y ecuaciones
no da una respuesta correcta. La tabla 1.2 resume las
posibles situaciones.
Isostática externamente Hiperestática externamente rq Tabla 1.2 Inestable
externamente
Puede concluirse que la comparación del número de reacciones r con el número de
ecuaciones de la estática q, brinda nada más que un balance global del estado
de la
Introducción al análisis estructural
15
estructura, pero no permite determinar con precisión su situación. Esto
requiere en general una inspección de la misma y un
análisis de si existen posibles situaciones de inestabilidad. Ejemplos Las
estructuras de la figura siguiente tienen ambas r=q=3. Sin
embargo la de la izquierda es estable e isostática, ya que las tres reacciones
son independientes, mientras que la de la derecha es inestable, pues las tres
reacciones se cortan en el apoyo de la izquierda.
Estable, isotática
Inestable
Laestructura de la figura siguiente tiene r=4, y es externamente hiperestática.
Hiperestática
Las estructuras siguientes tienen ambas r=q=3, pero su situación es muy
diferente, pues la disposición de las reacciones produce inestabilidad de
distinto tipo. Esta inestabilidad está unida a una hiperestaticidad en otra
dirección, de tal manera que el cómputo total de
reacciones hace parecer que la estructura es isostática.
Hiperestática s/X
Hiperestática s/Y
Inestable al giro
Inestable s/X
16
Curso de análisis estructural
1.8 BIBLIOGRAFÍA
1. Argüelles Alvarez, R., y Argüelles Bustillo, R., Análisis de
Estructuras: Teoría, Problemas y Programas, Escuela Técnica Superior de
Ingenieros de Montes, Madrid,
1996. Hibbeler, R. C., Structural Analysis, Prentice-Hall, New Jersey,
1996. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical
Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte I, Vol. 19, Ns
8, pp. 647-658, Agosto 1966. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development
of Energetical Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte
II, Vol. 19, Ns 11, pp. 919-933, Noviembre 1966. Timoshenko, S. P., History of
Strength of Materials, McGraw-Hill,
New York, 1953. Timoshenko, S.
P., y Young, D. H., Teoría de las Estructuras, Ed. Urmo, Bilbao, 1974. Tuma, J. J., Análisis Estructural, Serie Schaum, McGraw-Hill, New York,
1970. Wang, C. K., Intermediate Structural Analysis, McGraw-Hill, New
York, 1983.
2. 3.
5. 6. 7. 8.
