Ejercicios resueltos de programación lineal
 
1 A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen mas riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son mas seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como maximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Ademas, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ?Cómo debera invertir 10 millones para que le beneficio anual sea maximo?
Sea:
x= cantidad invertida en acciones A
y= cantidad invertida en acciones B
La función objetivo es:

Y las restricciones son:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices del recinto:
A intersección de u,t:

B intersección de r,u:

C intersección de r,s:

D intersección de s,t:

La función objetivo toma en ellos los valores:

Siendo la solución óptima invertir 6 millones en acciones tipo A y 4 en acciones tipo B
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2 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto depropaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos mas grandes, le paga 7 ptas. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como maximo. Lo que se pregunta el estudiante es Cuantos impresos habra que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea maximo?
Llamemos
x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.
y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.
La función objetivo es:
f(x, y)=5x+7y
Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Vértices:
A(0, 100)
B intersección de s,t:

C intersección de r,t:

D (120, 0)
Siendo los valores de la función objetivo:

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia maxima diaria de 950 ptas..
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3 Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 50000 pesos. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 pesos el kg. y las de tipo B a 80 pesos el kg. Sabiendo que sólo dispone en su furgonetade espacio para transportar 700 kg. de naranjas como maximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 pesos y el kg. de tipo B a 90 pesos, contestar justificando las respuestas:
a. ?Cuantos kg. de naranjas de cada tipo debera comprar para obtener maximo beneficio?
b. ?Cual sera ese beneficio maximo?
Llamemos
x= kg. de naranjas tipo A comprados.
y= kg. de naranjas tipo B comprados.
La función objetivo que da el beneficio es:

Y las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Y los vértices:
A(0, 625)
B intersección de r,s:

C(700, 0)
Y, en ellos la función objetivo toma los valores:

Ha de comprar 200 kg. de naranjas A y 500 de naranjas B para obtener un beneficio maximo de 6600 pesos.
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4 Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio
Sean
x= n: de trajes.
y= n: de vestidos
a=precio común del traje y el vestido.
Función objetivo:

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:
A(0, 40)
B intersección de r y s:

C(40, 0)
Los valores de la función objetivo son:

El maximo beneficio lo obtendra fabricando 20 trajes y 30 vestidos.
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5 Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de pesos y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ?Cuantas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio maximo?
Llamamos:
x= n: de viviendas construidas tipo A
y= n: de viviendas construidas tipo B.
La función objetivo es:

Las restricciones son:

La zona de soluciones factibles queda, pues:
Siendo los vértices:
A intersección de r,s:

B intersección de r,t:

C (0, 0)
Y la función objetivo toma los valores:

Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio maximo de 130 millones.