El Teorema de Pitagoras  es una proposición atribuida a Pitagoras, según la cual en todo triangulo rectangulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Un teorema es una proposición que afirma una verdad que se puede demostrar racionalmente.
La hipotenusa es el lado que se opone al angulo recto en un triangulo rectangulo; es el mayor de los tres lados.
Los catetos son cada uno de los dos lados que forman el angulo recto de un triangulo rectangulo
| TEOREMA DE PITAGORAS
|  |En un triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de|
los cuadrados de los catetos. |
a2 + b2 = c2 |
|Cada uno de los sumandos, representa el area de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en |
|términos de areas se expresa en la forma siguiente: |

|El area del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo pic] |
|rectangulo, es igual a la suma de las areas de los cuadrados
|construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitagoras generalizado
Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triangulo rectangulo, construimos otra figura, ¿seguira siendo cierto, que el area de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las areas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?
(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)
DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matematicos y amantes de las matematicas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las mas conocidas.
DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS
PITAGORAS.
|Una de las demostraciones geométricas mas pic]|
|conocidas, es la que se muestra a
|continuación, que suele atribuirse al propio
|Pitagoras.
|A partir de la igualdad de los triangulos
|rectangulos es evidente la igualdad
|a2 + b2 = c2

PLATÓN.
|La relación que expresa el teorema de Pitagoras es especialmente pic] |
|intuitiva si se aplica a un triangulo rectangulo e isósceles. Este
|problema lo trata Platón en sus famosos dialogos.
| |
| 

EUCLIDES.
|La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triangulo pic] |
|rectangulo, aparece ya en los Elementos de Euclides. | |
| Elementos de Euclides. Proposición I.47.
|En los triangulos rectangulos el cuadrado del lado que subtiende
|el angulo recto es igual a los cuadrados de los lados que
|comprenden el angulo recto.
|Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa
|a la derecha.
|La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de
|las areas representadas en el mismo color. ||
| |
| 

BHÂSKARA
|¡ Mira ! pic] |

PUZZLES PITAGÓRICOS.
A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitagoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Los siguientes disecciones son validas para cualquier triangulo rectangulo.
Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.
 
Ozanam |2 Perigal |3.- |

|4. Anaricio |5. Bhaskara |6.- |

|7.- |8.- |  |
|  |

2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triangulo rectangulo inicial sea el que se indica.
|Triangulo Rectangulo Isósceles |

|Triangulo rectangulo 3,4,5 |Cateto mayor / cateto menor = 2 |

|Hipotenusa /cateto menor =3 |Hipotenusa/cateto menor = 2 |  |
| |

3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitagoras, también el del cateto.
Son validos para triangulos rectangulos con los angulos (excluido el recto) en el  intervalo que se indica en cada caso.
Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito.
pic]
|Angulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60. |45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45 |
|30 ≤ A ≤ 60;
|Estas dos disecciones muestran graficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha |
|expresado anteriormente. |

DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.
Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o mas elegantes.
Estas son algunas de las mas populares.
|Pappus |Ibn Qurra |

|  |  |  |
|Leonardo de Vinci |Garfield |Vieta |


 
Otras demostraciones algebraicas.
pic]   |

 
Se ha dejado para el final una prueba  (posiblemente  desarrollada por el propio Pitagoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es suficiente con un triangulo rectangulo.
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