Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales
Parciales
1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad)Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una
función desconocida de una o más variables y sus derivadas parciales respecto a
estas variables. El orden de una ecuación diferencial parcial
es el de la derivada de mayor orden que aparezca en dicha ecuación.
Ejemplo:
Es una ecuación diferencial parcial de orden 2, o una ecuación diferencial de
segundo orden.
Una solución de una ecuación diferencial parcial es cualquier
función que verifica idénticamente la ecuación. La solución general
particular es una solución que se puede obtener de la solución general cuando
se hace una selección particular de las funciones arbitrarías. La siguiente
ecuación es una solución de la ecuación diferencial parcial de l ejemplo
anterior. Puesto que contiene dos funciones independientes
arbitrarias y, es la solución general. Solución particular: Si
Obtenemos la solución particular: Una solución singular es una solución que no
se puede obtener de la solución general mediante alguna selección de las
funciones arbitrarias. Un problema de valor de
contorno que contiene una ecuación diferencial parcial busca todas las
soluciones de una ecuación diferencial parcial que verifican las condiciones
llamadas condiciones de entorno. Los teoremas que se refieren
a la existencia y unicidad de tales soluciones se llaman teoremas de existencia
y unicidad.2 Forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo
orden.
La ecuación diferencial parcial lineal general de orden dos en dos variables
independientes toma la forma:
(1
Donde A,B…,G pueden depender de x y y pero no de u. Una ecuación de segundo
orden con dos variables independientes x y y que no tiene la forma anterior se
llaman no lineal. Si , la ecuación es homogénea,
mientras que si , entonces es no homogénea. Fácilmente se puede hacer las
generalizaciones a ecuaciones de orden superior. Por
razón de la naturaleza de las soluciones de(1), la
ecuación se clasifica frecuentemente como
elíptica, hiperbólica o parabólica según que sea menor, mayor o igual que cero
respectivamente.
3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de
segundo orden (elípticas, parabólicas e hiperbólicas). Es hiperbólica,
parabólica o elíptica si el término:
Es positivo, cero o negativo, respectivamente. Sin embargo,
esta definición puede ser confusa en algunas ocasiones. Otra forma de
identificar las ecuaciones diferenciales, aunque no es formal pero si práctica,
es observando el orden de las derivadas con respecto al tiempo. Cuando no se
tienen derivadas cruzadas, las ecuaciones con segunda derivada con respecto al
tiempo son usualmente hiperbólicas, las que tiene primera derivada con respecto
al tiempo son parabólicas y las que no tienen derivada con respecto al tiempo
son elípticas.
Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales
parcialesgobierna una clase específica de problemas en ingeniería.
Comúnmente las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas en
estado estable, tal como en la ecuación (15). Por lo general este tipo de ecuaciones se emplean para determinar la
distribución en estado estable de una incógnita en dos dimensiones.
En contraste con las ecuaciones elípticas, las ecuaciones parabólicas
determinan como una
incógnita varía tanto en espacio como
en tiempo. Esto se manifiesta por la presencia de la derivada espacial y
temporal como
en las ecuaciones (13) y (14). Tales casos se conocen como problemas de
propagación, ya que la solución se propaga con el tiempo. Un
ejemplo de esto es el problema de transferencia de calor en estado transitorio
de una barra delgada, en la cual la solución consiste en una serie de
distribuciones espaciales que corresponden al estado de la barra en diferentes
momentos.
Las ecuaciones hiperbólicas, también tratan con problemas de
propagación. Sin embargo, una importante distinción
manifestada por las ecuaciones (4) y (7) es la presencia de la segunda derivada
con respecto al tiempo. En consecuencia, la solución
oscila. Esta diferencia de orden en la derivada
temporal entre las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, también se manifiesta
en la forma que se propaga la solución. Por ejemplo, para los problemas
definidos por ecuaciones hiperbólicas, en los cuales se produce una
perturbación en el contorno, esta perturbación viaja alinterior del cuerpo pero
existe un intervalo de tiempo antes de que los puntos internos perciban esa perturbación.
Por el contrario, en los problemas con ecuaciones diferenciales parabólicas,
los puntos en interior perciben inmediatamente la perturbación en la frontera,
pero el efecto se intensifica con el tiempo. Las Ecuaciones Diferenciales
Parciales de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos
de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos
cuatro tipos: Ecuación Nombre Tipo
Laplace Elíptica
Onda Hiperbólica
Difusión Parabólicas
Helmholtz Elíptica
Las E.D parciales implican una serie de formas normales como:
Donde designa los términos de orden inferior al efectuarse cambio de
coordenadas (2) a (1) para obtener (3)
Elípticas: Hiperbólicas: Parabólicas: Con mayor generalidad, si se tiene una
ecuación de segundo orden del tipo:
• se dice que es elíptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0.
• se dice que es parabólica si la matriz tiene un
determinante igual a 0.
• se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un
determinante menor a 0.
4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales
parciales (directos, separables con las ordinarias, separación de
variables).Hay muchos métodos para resolver problemas de valor de contorno que
comprenden ecuaciones diferenciales parciales lineales. Entre los más importante se encuentran lo siguientes. Soluciones generales. En este
método sebusca primero la solución general y, después, la solución particular
que verifica las condiciones de contorno.
Teorema de principio de superposición. Si son soluciones de una ecuación diferencial parcial homogénea
lineal, entonces donde son constantes, es también solución. Teorema. La solución general de una ecuación diferencial
parcial homogénea lineal se obtiene mediante la adición de una solución
particular de la ecuación no homogénea a la solución genera de la ecuación
homogénea.
Si son constantes en la ecuación entonces la
solución general dela ecuación homogénea se puede encontrar si suponemos que
donde y son constantes que deben determinarse.
Separación de variables.
En este método se supone que una solución se puede
expresar como
un producto de funciones desconocidas, cada una de las cuales depende de solo
una de las variables independientes. El éxito del método estriba
en la posibilidad de escribir la ecuación la ecuación resultante de modo que
uno de sus miembros dependa solamente de una variable mientras que el otro
miembro dependa de las demás variables, de tal manera que cada miembro sea una
constante. Repitiendo el proceso se determinan las funciones
desconocidas. La superposición de estas soluciones se puede utilizar
para encontrar la solución verdadera.
Métodos de Laplace. En este método se obtiene primero
la transformada de Laplace de la ecuación
diferencial parcial y las condiciones de contorno, con respecto a una de
lasvariables independientes. Después resolvemos la ecuación
resultante para la transformada de Laplace de la solución requerida que,
entonces, se puede encontrar mediante la transformada inversa de Laplace.
Aplicando la definición de la transformada de Laplace se obtiene:
Debido a que la integración se esta realizando con respecto a la variable t, la
derivada con respecto a la posición se puede sacar de la integral de la
siguiente manera:
Debido a que la variable t desaparece cuando se aplica la transformada de
Laplace, la derivada parcial con respecto a x se convierte en una derivada
ordinaria, es decir:
La transformada de Laplace a una derivada parcial con respecto al tiempo da
como resultado.
Si se aplica integración por partes se obtiene:
La cual es muy similar a la transformada de Laplace
de una derivada ordinaria. Mediante la aplicación de la
transformada de Laplace a una ecuación diferencial parcial se obtiene una
ecuación diferencial ordinaria de la función transformada. La solución
de esta ecuación diferencial da como resultado el la función
transformada, en la cual Existirán algunas constantes dependiendo el orden de
las derivadas. Para encontrar el valor de estas derivadas es necesario utilizar las
condiciones de borde. Pero estas condiciones deben estar en términos de
la función transformada, por tanto se le aplica transformada a las condiciones
de borde. Ejemplo: Una cuerda semi-infinita se encuentra inicialmente en reposo
coincidiendo con el semiejepositivo x. En el instante t = 0, el extremo
izquierdo de la cuerda comienza a moverse a lo largo del eje y de una
manera descrita por la ecuación
Donde f (t) es una función conocida. Halle
el desplazamiento de un punto cualesquiera en un
instante determinado. Solución: La ecuación para el movimiento de una cuerda en
la dirección vertical esta dado por la ecuación (4), Las condiciones de
contorno son:
y como
condiciones iníciales se tiene que y . Aplicando
transformada de Laplace a la ecuación diferencial se tiene que:
Aplicando el equivalente a las ecuaciones (46) y (48) se obtiene:
Las condiciones iníciales hacen que la ecuación anterior se transforme en:
La solución de esta ecuación diferencial es:
La condición de que y debe ser acotada cuando x tiende al infinito hace que
A=0. Mediante la transformada de la segundo condición de borde se obtiene:
Al aplicar la condición de borde se obtiene que:
Por lo tanto la función transformada es:
La transformada inversa de esta función es.
5 Aplicaciones.Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos
físicos. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el
movimiento de una estructura es:
donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que
describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que
describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos[nodales]
de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica
tiempo. Esta es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el
desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo. La
vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en
derivadas parciales de segundo orden:
Donde t es el tiempo y x es la coordenada del punto sobre la
cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
1. Ecuación dela conducción del calor. Aquí es la temperatura
de un sólido que esta situado en el punto en el instante .
La constante , llamada difusivilidad, es igual a una
donde la conductividad térmica K, el calor específica la densidad (masa por se
toma como
constantes.ï´unidad de volumen) En caso de que no dependa de y la ecuación se
reduce a que es la llamada ecuación de la condición de calor unidimensional. 2.
Ecuación de una cuerda vibrante.
Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una
cuerda flexible y tensa como la cuerda de u violín, que
inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la
elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante
. La constante , donde s la tensión (Cte.) de
la cuerda y es la masa (cte) de la cuerda por unidad de longitud. Se supone que no hay fuerzas externas que actúan sobre la cuerda y
que esta vibra únicamente a causa de su elasticidad.
La ecuación se puede generalizar fácilmente a másdimensiones. Ejemplo al
estudio de lasa vibraciones de una membrana o de un
tambor. En dos dimensiones, por ejemplo la ecuación es
3. Ecuación de Laplace
Esta ecuación ocurre muy diversas ocasiones. En la teoría de la
conducción del calor,
por ejemplo, es la temperatura del estado
estable, esto es, la temperatura después que ha pasado largo tiempo, y equivale
a colocar en la ecuación de la conducción del calor. En la teoría de la gravitación o
de la electricidad, ,representa, respectivamente, el
potencial gravitacional o el potencial eléctrico. Por esta
razón, la ecuación se suele llamar ecuación de potencial.
4. Vibraciones longitudinales de una viga.
Esta ecuación describe el movimiento de una viga que puede vibrar
longitudinalmente (en dirección de ) la variable es la
elongación longitudinal con respecto al a posición de equilibrio de la sección
transversal en . La constante , donde es la
aceleración debida ala gravedad, es el modulo de elasticidad (esfuerzo debido
por deformación) y depende de las propiedades de la viga, y es la densidad.
5. Vibraciones transversales de una viga.
Esta ecuación describe el movimiento de una viga, que esta vibrando
transversalmente (perpendicularmente el eje x). En este caso es la elongación
transversal de un punto cualquiera en n instante cualquiera .La constante ,
donde es el modulo de elasticidad, es el momento de inercia de cualquier
sección transversal respecto al eje , es la aceleración debida a la gravedad y
esla masa por unidad de longitud. En caso de que se aplique una fuerza
transversal externa , el miembro de la derecha de la
ecuación se reemplaza por .
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Definiciones Ecuacion Diferencial Parcial
Diferenciales Parciales
Una cantidad física puede ser expresada por una función de dos o más variables.
Si queremos saber el comportamiento de tal función sin
conocerla, (pero teniendo algunos otros datos), tenemos que plantearnos una
ecuación tal que ésta este en función de sus derivadas parciales. Existen distintos fenómenos que pueden ser descritos por una misma
ecuación.
En general:
DEFINICION: Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una relación de la
forma:
F (x, t, u, ux1, , …, uxn−1 , ut, …, Dαu) = 0
donde: u = u(x, t) es una función de la variable independiente
x = (x1, …, xn−1) Rn−1 y de la variable temporal t R, además de ser la
incógnita; y α = (α1, …, αn) es un multiíndice perteneciente a
Zn +
Rn,
de tal forma que Dαu denota una derivada parcial iterada de u de orden
|α| = α1 + α2 + … + αn, en la que derivamos α1 veces
con respecto a la variable t y αj veces en cada una de las variables xj .
Observemos que |α| es el orden de la derivada Dαu.
Por definición si α = (0, 0 0) entonces
Dαu ≡ u. Podríamos simplemente denotar a t como la variable xn, puesto que es una más de
las variables consideradas. Sin embargo, deacuerdo con nuestra concepción del
universo, es conveniente distinguir la variable temporal de las demás.
La notación que usaremos será como sigue
Consideremos una función u que depende solo de dos variables independientes x e
y. Usualmente se escribe de la siguiente forma
u = u(x, y)
lo cual, en este caso, designa a u como una función de las variables
independientes x e y. Las derivadas parciales las escribiremos como sigue:
con lo anterior podemos representar a una EDP en forma general como en, donde F
es una función de las variables indicadas y al menos una derivada parcial
existe.
Así una EDP es una ecuación que tiene como incógnita a una función de dos
o más variables y que involucra a una o más de sus derivadas parciales. El
orden de una EDP es el de la derivada con mayor orden en la ecuación. La
linealidad de las ecuaciones se establece como sigue: Si los coeficientes
dependen sólo de las variables independientes entonces a la ecuación se le
denomina lineal, es decir, si F puede ser expresada como una combinación lineal
de u y sus derivadas. Si además dependen de la propia función
o de alguna de sus derivadas parciales entonces la ecuación es no lineal.
Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada de
mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo
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Forma General Ecuacion Diferencial Parcial Segundo Orden
es una ecuación diferencialde orden 2, ya que la derivada de mayor orden que
aparece en ella es de ese orden.
Clasificacion Ecuaciones Diferenciales Parciales Segundo Orden
3 Clasificación de la ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (
Elipticos, parabolicas, hiperbolicas )
Esto es, si
> 0 la ecuación es elíptica;
= 0 la ecuación es parabólica;
< 0 la ecuación es hiperbólica
Estas ecuaciones son ejemplos inmediatos de Ecuaciones de tipo Hiperbólica,
Parabólica y Elýptica, respectivamente. Teorema
La E.D.P. (1) es reducible en a la forma:
Una ecuación parabólica en derivadas parciales es una ecuación diferencial
parcial de segundo orden del tipo
en la cual la matriz tiene un determinante igual a 0. Algunos
ejemplo de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas son la ecuación de
Schrödinger y la ecuación de conducción de calor.
Metodo Solucion Ecuaciones Diferenciales Parciales
Ordinarias y parciales
Para desarrollar sistemáticamente la teoría de
las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de
ecuaciones. Una de las clasificaciones mas
obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias
variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias
en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se
llama ecuación diferencial parcial.
Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias
1.-
2.-* ORDEN.
El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden.
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en
derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.
Por ejemplo
d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex
dx2 dx
es una ecuación diferencial de segundo orden.
* GRADO.
Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta,
siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.
Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la
cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación
diferencial
Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n).
Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.-
La ecuación que no es de la forma (3), es un ecuación
no lineal.
Un problema físico sencillo que de origen a una
ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante.
ecuación Diferencial Lineal
La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son
funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera
potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.
