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Ondas y particulas
El período de un
movimiento ondulatorio que se propaga por el eje de abscisas es de
3×10-3 s. La distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia
de fase es p/2 vale 30 cm. Calcular: a) La longitud de onda. b) La
velocidad de propagación.La diferencia de fase de dos puntos que distan
una longitud de onda es 2p, luego:La velocidad de
propagación de la onda es:4. La función de onda correspondiente a
una onda armónica en una cuerda es Y(x, t) = 0,001 sen(314t+62,8x), escrita en el SI. a) ¿En qué
sentido se mueve la onda? b) ¿Cual es su velocidad? c)
¿Cual es la longitud de onda, frecuencia y periodo? d)
¿Cual es el desplazamiento maximo de un
segmento cualquiera de la cuerda? e) ¿Cual es la ecuación
de la velocidad y aceleración de una particula de la cuerda que se
encuentre en el punto x = – 3 cm?El sentido en que se propaga una onda de
función: 0,001 sen(314t±62,8x) es, debido al signo+, el
sentido negativo del eje X.El período, frecuencia, velocidad de
propagación y longitud de onda se obtienen de dicha función:De k
= 2p/l =62,8 El desplazamiento maximo de un
segmentocualquiera de la cuerda viene dado por la amplitud de la
función Y(x, t). Es decir: A = 0,001 m.La función de onda de
una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = 0 m es:La ecuación de su velocidad:y la de su
aceleración:5. Escribir una función que interprete la
propagación de una onda que se mueve hacia la derecha a lo largo de una
cuerda con velocidad de 10 ms-1, frecuencia de 60 hertz y amplitud 0,2 m.La
función de onda, en general, viene dada por: y(z, t) = A sen (wt
– kz) siendo en este caso:w = 2pn =
120p rad×s-1 = 377 rad×s-1A = 0,2 m.Sustituyendo estos
valores en y(z, t) resulta:y(z, t) = 0,2 sen (377t – 37,68z).6. La
ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda viene dada
por y(x, t) =10 sen(2pt – px/0,10),
escrita en el SI. Hallar: a) La velocidad de propagación de la onda. b)
La velocidad y aceleración maxima de las partículas de la
cuerda.Considerando la ecuación general de la cuerda:e
identificando términos se obtiene: La velocidad de
propagación de la onda resulta entonces igual a:La velocidad con que se
mueve una partícula cualquiera dela cuerda es:siendo su valor
maximo cuando el coseno se haga la unidad. Es decir: 20p ms-1.En
cuanto a la aceleración es:y su valor
maximo: 40p2 ms-27. Una onda sinusoidal transversal que se propaga
de derecha a izquierda tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m
y una velocidad de propagación de 200 ms-1 Hallar: a) La
ecuación de la onda. b) La velocidad transversal maxima de un punto alcanzado por la vibración. c)
Aceleración transversal maxima de un punto del medio.a) La
ecuación de la onda, suponiendo que la dirección de
propagación es el eje X y que la de vibración es el eje Y, es:b)
La velocidad de un punto del medio es:siendo su valor maximo:
80p ms-1c) En cuanto a la aceleración:y su valor maximo:
1600p2 ms-2. 8. Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal en el sentido negativo del eje de las x, siendo
20 cm la distancia entre dos puntos que estan en fase. El foco emisor, fijo al resorte, vibra con una frecuencia de 25 Hz
y una amplitud de 3 cm (se supone que no hay amortiguamiento).
Encontrar: a) La velocidad con que se propaga laonda. b) La ecuación de
onda sabiendo que el foco emisor se encuentra en el origen
de coordenadas y que en t = 0, y(x, t) = 0. c) La velocidad y
aceleración maximas de una partícula cualquiera del resorte.a)
La velocidad de propagación de la onda es: v = ln =
20×10-2×25 = 5 ms-1b) Al ser A = 3×10-2 m
y n = 25 Hz, la ecuación de onda escrita en el SI es:c) La velocidad de un punto cualquiera del resorte vale:y
la aceleración de un punto cualquiera del resorte:10. Dos movimientos
ondulatorios coherentes de frecuencia 640 hertz, se propagan por un medio con la velocidad de 30 ms-1. Hallar la diferencia
de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de
aquellos respectivamente 25 y 27,3 m.La
función de onda de cada movimiento viene dada por:La diferencia de fase
entre estos dos movimientos sera entonces:13. La ecuación de una
onda transversal en una cuerda es y = 1 sen p (250
t + 0,400 x) estando las distancias medidas en cm y el tiempo en segundos.
Encontrar a) la amplitud, longitud de onda, la frecuencia, período y
velocidad de propagación b) la elongación de lacuerda para
t=0,0020 s y 0,0040 s c) esta la onda viajando en la dirección
positiva o negativa del eje x.La ecuación de una onda que se desplaza de
derecha a izquierda es:a) Comparando:b) Sustituyendo:t = 0,0020 s; y = 1,75
sen(250·0,0020 + 0,400 x) = 1,75 sen (0,5 + 0,400 x)t = 0,0040 s; y =
1,75 sen(250·0,0040 + 0,400 x) = 1,75 sen (1 + 0,400 x)Ambas elongaciones
dependen de la posición x sobre la cuerda.c) La onda viaja de derecha a
izquierda15. Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación y
= 5 senpx/3 sen 40pt (x en m y t en s). a) Hallar la
amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposición
puede dar lugar a dicha vibración. b) Distancia entre nodos. c)
Velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 1,5 m cuando t =
9/8 s.a) Una onda de este tipo resulta de la superposición de dos
movimientos ondulatorios:de igual frecuencia, amplitud y vector k,
propagandose en sentidos opuestos.Teniendo en cuenta que la forma
general de la ecuación de la onda resultante de la superposición
es:identificando, resulta:Por otra parte, desarrollando la expresión:e
identificandoes:La velocidad de fase sera:b) La distancia entre nodos
es:c) La velocidad de las partículas de la cuerda se obtiene derivando
respecto del tiempo la ecuación de la onda. Es decir:La
velocidad de la partícula considerada en el instante t = 9/8 s es
entonces:16. Dos movimientos ondulatorios coherentes de frecuencia 640 hertz,
se propagan por un medio con la velocidad de 30 ms-1.
Hallar la diferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los
orígenes de aquéllos respectivamente 25
y 27,3 m.La función de onda de cada movimiento viene dada por:La
diferencia de fase entre estos dos movimientos sera entonces:17. Dos
ondas que se propagan en una cuerda en la misma dirección tienen una
frecuencia de 100 hertz, longitud de onda de 0,01 m y amplitud de 2 cm.
¿Cual es la amplitud de la onda resultante si las ondas
originales estan desfasadas en p/3?La amplitud de la onda
resultante de la interferencia viene dada por:18. Una cuerda
con ambos extremos fijos vibra con su modo fundamental. Las ondas tienen
una velocidad de 32 m/s y una frecuencia de 20 Hz. la amplitud de la
ondaestacionaria en su antinodo es 1 cm a) Calcular
la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de a) 80 cm
b) 40 cm y c) 20 cm del extremo izquierdo de la cuerda.La onda resultante es:La
amplitud en un antinodo es la maxima A = 1,20y la ecuación de la
ondaLa amplitud es:CUESTIONESC.1. Si en la expresión Y(t) = A sen(wt+j) en lugar de la función seno
escribimos la función coseno, ¿se modificaría en algo el
modelo físico?, ¿por qué?No, porque si en la
función Y(t) = A sen(wt+j) sustituimos la
función seno por la
función coseno resultaria: La función Y'(t)
representa el mismo movimiento que la Y(t). Sólo se diferencian en
la fase que para t = 0, Y(t) = A
sen j, mientras que C.2. Coge un recipiente de gran superficie e
introduce el dedo varias veces para producir ondas circulares
¿Qué ocurre con la onda si metes el dedo con mayor frecuencia?Como l =
v·f la longitud de onda aumenta ya que la velocidad se mantiene
constante. |
La función Y'(t) representa el mismo movimiento que laY(t). Sólo se diferencian en la fase que para t =
0, Y(t) = A sen j, mientras que |
Sin embargo,
un estudio experimental detallado
del efecto fotoeléctrico
revelaría pronto que esta explicación no daba cuenta de los hechos observados.
El dispositivo empleado permitía frenar a voluntad los electrones
emitidos por la superficie metálica iluminada y determinar así su energía
cinética. Para un
potencial de frenado V dado, un miliamperímetromedía la corriente de electrones
en el circuito. Los resultados obtenidos fueron los siguientes
a.
Para cada metal existe una frecuencia
crítica de la luz incidente o frecuencia umbral fo por debajo de la cual ningún
electrón es emitido cualquiera que sea la intensidad luminosa empleada. Así,
por ejemplo, si se elige una placa de
cinc y se
ilumina con luz roja intensísima, el miliamperímetro no detecta efecto alguno.
Sólo cuando se emplea
luz ultravioleta es posible
provocar en el cinc el efecto fotoeléctrico.
b. Por encima de esta frecuencia umbral la energía cinética de los electrones
emitidos por el metal, o fotoelectrones, aumenta linealmente con la frecuencia
de la radiación empleada, siendo independiente de la intensidad. Si la
frecuencia umbral corresponde al infrarrojo, una
luz
azul tenue (mayor frecuencia y menor intensidad) arrancaría electrones más
energéticos que otra de color rojo brillante (menor frecuencia y mayor
intensidad).
c. La intensidad luminosa afecta únicamente al número de electrones emitidos.
Por encima de la frecuencia umbral, cuanto mayor sea la intensidad de la
luz empleada, mayor es el número de fotoelectrones emitidos.
d. La iluminación de la superficie metálica y la emisión de fotoelectrones son
simultáneos, sin que se observe
un retraso apreciable
entre ambos fenómenos.
La física clásica y particularmente la teoría ondulatoria de la
luz no podía explicar tales resultados. La magnitud que da
idea de laenergía de una onda es su intensidad, de modo que aumentando
suficientemente la intensidad de
luz en cualquier
color debería producirse el fenómeno; sin embargo, tal predicción no fue
observada.
Por otra parte, cálculos realizados según la física clásica indicaban que para
que
un electrón
del
metal lograse acumular la energía necesaria para ser arrancado de su átomo
correspondiente debería transcurrir una cantidad de tiempo importante; no
obstante la iluminación y la emisión
del
fotoelectrón se presentaban sin retraso apreciable.
Mediante
un dispositivo
como el de la figura es posible estudiar el
efecto fotoeléctrico y determinar el valor mínimo de la tensión de frenado que
impide que aparezca corriente en el circuito.
Aplicación de la ecuación
del efecto fotoeléctrico
|
n el efecto fotoeléctrico, para cada metal existe una frecuencia umbral por
debajo de la cual la radiación que incide sobre el metal no conseguirá arrancar
electrones.
Para el cobre dicha frecuencia
toma el valor fo = 1 · 1015 Hz.
Determinar:
1. El valor de la longitud de onda umbral correspondiente.
2. La energía que
como máximo poseerá un
fotoelectrón cuando la superficie
del metal
sea alcanzada por una luz de frecuencia f = 1 · 1015
Hz. c) La función de trabajo
del
cobre. Tómese h = 6,625 · 10-34 J/s
a) La relación entre frecuencia y longitud de onda para la radiación luminosa
viene dada por la ecuación:
|
siendo c = 300 000 km/s la velocidad de la luzen el vacío. Por tanto el valor
de la longitud de onda umbral para el cobre será:
|
b) De acuerdo con la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico se tiene
hf = Ec + hfo |
en donde Ec representa la energía cinética que
como
máximo tendrá un fotoelectrón al salir de la superficie
del metal. Por tanto:
Ec = hf - hfo = h (f - fo) = = 6,625 · 10-34 (1,5 · 1015 - 1,1 · 1015) = 2,6 ·
10-19 J |
c) Se denomina función de trabajo a la energía que precisa el electró
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