Informe N #2: medición de la aceleración de la gravedad experimental.
Laboratorio de Física, Universidad José Antonio Páez,

Resumen: Se separa el péndulo de su posición vertical con un ángulo pequeño y se dejara oscilar libremente. Cuando las oscilaciones sean regulares se pondrá en marcha el cronometro y se contaran hasta diez oscilaciones y se tomara el tiempo de cada péndulo tres veces. Cabe destacar que cada péndulo tiene longitudes distintas una vez obtenido el tiempo se registrara en la primera tabla y se calculara el tiempo promedio (t) también se calculara en una segunda tabla el error instrumental, el error estadístico, el error de apreciación, el porcentaje de desviación del objeto y la gravedad experimental en la cual se hará en una gráfica de periodo contra longitud.
Introducción:
En el siguiente informe se harán una serie de cálculos para obtener una gravedad experimental y se comparara dicha gravedad con la gravedad teórica (9,81) para saber qué tan cercana puede estar esa gravedad experimental de la teórica y con esa comparación podremos saber si este método espreciso o no.

Marco Teórico
Péndulo simple: El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso como se puede observar en la figura (1).

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas θ y -θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, del hilo y tiene un movimiento periódico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N). Haciendo un diagrama de cuerpo libre y si θ es muy pequeño Aplicamos la segunda ley de Newton obtenemos


ΣFx=ma

Entonces,
ΣFx=-Px senθ=ma_x ecu.(1)

ΣFy=N-Py cosθ=ma_(y ) ecu.(2)

Resolviendo la ecu. (2): a_y=0 por lo quequeda,
N-Py=0 →N=Py cosata€–θ.a€—

Resolviendo la ecu (1):
-mg sinata€–θ=m (d_x^2)/(dt^2 )a€—

Se simplifican las m y nos queda:
-g sinata€–θ= (d_x^2)/(dt^2 )a€— ecu (3)

Entonces como x=l sinatθ la ecu (3) nos queda:
-g sinata€–θ= (d^2 (l sinatθ ) )/(dt^2 )a€— → -g sinata€–θ=l d^2/(dt^2 )a€— sinata€–θ.a€—

Aplicando el desarrollo de la serie de Taylor obtenemos que:
sinata€–θ=θ+θ^3/3!-θ^5/5!+θ^7/7!-θ^9/9!+a‹¯a€—
Pero como θ es un valor pequeño podemos decir que
sinatθ≈θ
Entonces,
-g sinatθ=l d^2/(dt^2 ) sinatθ → -gθ=l (d_θ^2)/(dt^2 )
Despejando e igualando a cero,
l (d_θ^2)/(dt^2 )+gθ=0
Obtenemos una ecuación diferencial y dividimos entre l y nos queda
(d_θ^2)/(dt^2 )+gθ/l=0

Donde decimos que g/l=a€–ω_0a€—^2 donde a€–ω_0a€—^2 es el periodo simple. Simplificando ω_0= g/l) ecu (4) pero ω también es ω=2π f ecu (5) donde f es frecuencia y sustituimos las ecu (5) en la ecu (4) y despejamos en función de f y nos queda:
f=1/2π √(g/l) ecu (6)

Periodo: el periodo de oscilación es el intervalo de tiempo entre dos puntos equivalentes de una onda u oscilación también puede ser asociado con la frecuencia mediante la relación.
T= 1/f ecu (7
Sustituimos la ecuación (6) en la ecuación (7) yaplicando doble c nos queda:
T=2π √(l/g) ecu (8)
Errores de medida: todo proceso de medida lleva asociado un error, de forma que nunca se puede asegurar completamente que el valor coincide con el valor verdadero del mesurando.
E i=A/2 ecu (9))
Donde e_i es el error de medida y A es la apreciación del instrumento.
Error estadístico: que se manifiesta en el hecho de que mediciones realizadas en condiciones prácticamente idénticas presentas desviaciones constantes o previsibles respecto del valor convencionalmente verdadero del mesurando.

E_e=± t (σ/√n) ecu (10
Donde σ=√(Σ(t Ì…-t)/(n-1)).
Error absoluto: es la suma del error estadístico y el error de medida entre dos.

Ea E_i+E_e)/2 ecu (11)

Gravedad experimental: esta gravedad experimental la obtendremos despejando la ecuación (7) en función de la gravedad y obtendremos

g= (l (2π)^2)/T^2 ecu (12)

Metodología.

En la primera parte del experimento se tomaron las medida de las longitudes de siete péndulos con la cinta métrica y teniendo nosotros como dato el valor de θ=10° y se calculó una distancia x de la cual se va a dejar caer cada péndulo.

De la figura (1) se puede calcular la distancia como x=l sinatθ luego, se tomó con un cronometro trestiempo para cada péndulo con diez oscilaciones para cada uno y se calculó el tiempo promedio (t Ì el cual se calculó de la siguiente manera t Ì…=Σt/n donde Σt es la sumatoria de los tiempo tomados con el cronometro y n es el número de veces que se tomaron cada tiempo en este caso tres.

Las distancias en que se soltaron cada péndulo fueron:

x_1=74 sinat10aŸ¹ x_1=12,85 cm
x_2=91 sinat10aŸ¹ x_2=15,80 cm
x_3=112 sinat10aŸ¹ x_3=19,45 cm
x_4=134 sinat10aŸ¹ x_4=23,26 cm
x_5=152 sinat10aŸ¹ x_5=26,39 cm
x_6=172 sinat10aŸ¹ x_6=29,87 cm
x_7=190 sinat10aŸ¹ x_7=32,993 ≈33 cm

El tiempo promedio de cada péndulo fueron:

(t_1 ) Ì…=50,84/3=19,95 (s)
(t_2 ) Ì…=53,24/3=17,75 (s)
(t_3 ) Ì…=59.33/3=19,78 (s)
(t_4 ) Ì…=63,1/3=21,03 (s)
(t_5 ) Ì…=68.98/3=22,99 (s)
(t_6 ) Ì…=81,14/3= 27,04 (s)
(t_7 ) Ì…=78,75/3=26,25 (s)


Longitud (cm) t1
(seg) t2
(seg) t3
(seg) t Ì…(promedio)
(seg)
1 74 17 17,74 16,10 16,95
2 91 17,50 18,00 17,74 17,75
3 112 19,84 19,82 19,67 19,78
4 134 20,89 21,00 21,21 21,03
5 152 23,04 22,84 23,10 22,99
6 172 27,00 27,10 27,04 27,04
7 190 28,11 25,32 25,32 26,25

El periodo de del tiempo será denotado “T” el cual se calculara de la siguiente manera
T=t Ì…/(ns oscilaciones)
Donde T será el promedio de los tiempos y elnúmero de oscilaciones tomado para la práctica fue de 10 oscilaciones por cada tiempo tomado.
La cual se calculó para cada longitud que se indican en la tabla anterior, se calculan de la siguiente manera:
T1=16,95/10=1,695seg T2=17,75/10=1.775seg
T3=19,78/10=1,978seg T4=21.03/10=2,10seg
T5=22,99/10=2,29seg T6=27,17/10=2,717seg
T7=26.25/10=2,625seg
Luego se calcularon los errores instrumentales, estadísticos y absolutos y se colocaron es la siguiente tabla.
Longitud
(cm+error) t Ì…(promedio)
(seg) Ei Ee Ea Periodo
T+ΔT
1 74,1 16,95 0,5 6,5625 3,5313 1,695
2 91,1 17,75 0,5 2,0926 1,2963 1.775
3 112,1 19,78 0,5 0,8668 0,6834 1,978
4 134,1 21,03 0,5 1,6112 1,0556 2,10
5 152,1 22,99 0,5 1,4760 0,988 2,29
6 172,1 27,17 0,5 0,6447 0,5724 2,717
7 190,1 26,25 0,5 19,93 10,215 2,625

En donde el E_i=A/2 ecu (9) entonces,
Error instrumental de la cinta métrica es: E_i=1mm/2=0,5 y el error instrumental del cronometro es: E_i=(1 seg)/2=0,5
Error estadístico E_e=± t (σ/√n) ecu (10) en donde σ es σ=√(Σ(t Ì…-t)/(n-1)). Entonces obtenemos los valores de σ
1=0,6706; 2=0,2042;3=0,0759; 4=0,1327; 5=0,1112; 6=0,0411; 7=1,3152
Entonces los errores estadísticos son
Ee1=16,95 0,6706/(√3)=6,5625
Ee2=17,75 0,2042/(√3)=2,0926 Ee3=19,78 0,0759/(√3)=0,8668
Ee4=21,03 0,1327/(√3)=1,6112 Ee5=22,99 0,1112/(√3)=1,4760
Ee6=27,17 0,0411/(√3)=0,6447 Ee7=26,25 1,3152/(√3)=19,93
Error absoluto Ea=(E_i+E_e)/2 ecu (11) lo calculamos y obtuvimos
Ea1=(0,5+6,5625)/2=3,5313 Ea2=(0,5+2,0926)/2=1,2963
Ea3=(0,5+0,8668)/2=0,6834 Ea4=(0,5+1,6112)/2=1,0556
Ea5=(0,5+1,4760)/2=0,988 Ea6=(0,5+0,6447)/2=0,5724
Ea7=(0,5+19,93)/2=10,215
Con los datos que se obtuvieron del periodo T y de las longitudes l se hico una grafica T vs l.

Luego se calcula la gravedad experimental que es g= (l (2π)^2)/T^2 ecu (12) entonces las gravedades son:
g1=(74*a€–2πa€—^2)/a€–1,695a€—^2 =1016,84 g2=(91*a€–2πa€—^2)/a€–1,775a€—^2 =1140,26
g3=(112*a€–2πa€—^2)/a€–1,978a€—^2 =1130,12 g4=(134*a€–2πa€—^2)/a€–2,10a€—^2 =1199,57
g5=(152*a€–2πa€—^2)/a€–2,29a€—^2 =1144,28 g6=(172*a€–2πa€—^2)/a€–2,717a€—^2 =919,83
g7=(190*a€–2πa€—^2)/a€–2,625a€—^2 =1088,57
Ya calculada lagravedad experimental podemos calcular el porcentaje de desviación % desviación= |(gteorica-gexperimental)/gteorica| entonces.
% desviación 1= |(9,81-1016,84)/9.81|=102,65
% desviación 2= |(9,81-1140,28)/9.81|=115,24
% desviación 4= |(9,81-1130,12)/9.81|=114,20
% desviación 5= |(9,81-1144,28)/9.81|=115,64
% desviación 6= |(9,81-919,83)/9.81|=92,76
% desviación 7= |(9,81-1088,57)/9.81|=109,97

Análisis y conclusión
En el experimento se puedo observar que el valor de la gravedad experimental
está muy alejado del valor de la gravedad teórica. Esto se debe a que la gravedad experimental se calculó con una longitud medida con un instrumento de medición como la cinta métrica esto quiere decir que esta gravedad tiene en ella una serie de error arrastrados tal vez por la mala medición de los operadores al momento de tomar la medida, también estuvo incluido el cronometro con el que se tomó el tiempo de las diez oscilaciones el cual también arrastra un error sistemático.
La conclusión a que se llega es que este método de calcular la gravedad experimental como g= (l (2π 2)/T^2 ecu (12) no es muy efectivo tendría que haber una precisión de los operadores al momento de tomar las medidas y al momento de hacer los cálculos.