Informe N #2: medición de la aceleración de la
gravedad experimental.
Laboratorio de Física, Universidad José Antonio Páez,
Resumen: Se separa el péndulo de su posición vertical con un ángulo pequeño y
se dejara oscilar libremente. Cuando las oscilaciones sean
regulares se pondrá en marcha el cronometro y se contaran hasta diez
oscilaciones y se tomara el tiempo de cada péndulo tres veces. Cabe destacar
que cada péndulo tiene longitudes distintas una vez obtenido el tiempo se
registrara en la primera tabla y se calculara el tiempo promedio (t) también se
calculara en una segunda tabla el error instrumental, el error estadístico, el
error de apreciación, el porcentaje de desviación del objeto y la gravedad
experimental en la cual se hará en una gráfica de periodo contra longitud.
Introducción:
En el siguiente informe se harán una serie de cálculos para obtener una
gravedad experimental y se comparara dicha gravedad con la gravedad teórica
(9,81) para saber qué tan cercana puede estar esa gravedad experimental de la
teórica y con esa comparación podremos saber si este método espreciso o no.
Marco Teórico
Péndulo simple: El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una
partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso como se puede observar en la figura (1).
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si
desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo
forme un ángulo θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del
reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad.
Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas θ y -θ,
simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un
arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, del
hilo y tiene un
movimiento periódico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la
ecuación del
movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia
bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo
(N). Haciendo un diagrama de cuerpo libre y si θ es muy pequeño Aplicamos
la segunda ley de Newton
obtenemos
ΣFx=ma
Entonces,
ΣFx=-Px senθ=ma_x ecu.(1)
ΣFy=N-Py cosθ=ma_(y ) ecu.(2)
Resolviendo la ecu. (2): a_y=0 por lo quequeda,
N-Py=0 →N=Py cosata€–θ.a€—
Resolviendo la ecu (1):
-mg sinata€–θ=m (d_x^2)/(dt^2 )a€—
Se simplifican las m y nos queda:
-g sinata€–θ= (d_x^2)/(dt^2 )a€— ecu (3)
Entonces como x=l sinatθ la ecu (3) nos queda:
-g sinata€–θ= (d^2 (l sinatθ ) )/(dt^2 )a€— → -g sinata€–θ=l
d^2/(dt^2 )a€— sinata€–θ.a€—
Aplicando el desarrollo de la serie de Taylor obtenemos que:
sinata€–θ=θ+θ^3/3!-θ^5/5!+θ^7/7!-θ^9/9!+a‹¯a€—
Pero como θ es un valor pequeño podemos decir que
sinatθ≈θ
Entonces,
-g sinatθ=l d^2/(dt^2 ) sinatθ → -gθ=l (d_θ^2)/(dt^2
)
Despejando e igualando a cero,
l (d_θ^2)/(dt^2 )+gθ=0
Obtenemos una ecuación diferencial y dividimos entre l y nos queda
(d_θ^2)/(dt^2 )+gθ/l=0
Donde decimos que g/l=a€–ω_0a€—^2 donde a€–ω_0a€—^2 es el periodo
simple. Simplificando ω_0= g/l) ecu (4)
pero ω también es ω=2π f ecu (5) donde f es frecuencia y
sustituimos las ecu (5) en la ecu (4) y despejamos en función de f y nos queda:
f=1/2π √(g/l) ecu (6)
Periodo: el periodo de oscilación es el intervalo de tiempo entre dos puntos
equivalentes de una onda u oscilación también puede ser asociado con la
frecuencia mediante la relación.
T= 1/f ecu (7
Sustituimos la ecuación (6) en la ecuación (7) yaplicando doble c nos queda:
T=2π √(l/g) ecu (8)
Errores de medida: todo proceso de medida lleva asociado un error, de forma que
nunca se puede asegurar completamente que el valor coincide con el valor
verdadero del
mesurando.
E i=A/2 ecu (9))
Donde e_i es el error de medida y A es la apreciación del instrumento.
Error estadístico: que se manifiesta en el hecho de que mediciones realizadas
en condiciones prácticamente idénticas presentas desviaciones constantes o
previsibles respecto del
valor convencionalmente verdadero del
mesurando.
E_e=± t (σ/√n) ecu (10
Donde σ=√(Σ(t Ì…-t)/(n-1)).
Error absoluto: es la suma del error estadístico y el error
de medida entre dos.
Ea E_i+E_e)/2 ecu (11)
Gravedad experimental: esta gravedad experimental la obtendremos despejando la
ecuación (7) en función de la gravedad y obtendremos
g= (l (2π)^2)/T^2 ecu (12)
Metodología.
En la primera parte del
experimento se tomaron las medida de las longitudes de siete péndulos con la
cinta métrica y teniendo nosotros como
dato el valor de θ=10° y se calculó una distancia x de la cual se va a
dejar caer cada péndulo.
De la figura (1) se puede calcular la distancia como x=l sinatθ luego, se
tomó con un cronometro trestiempo para cada péndulo con diez oscilaciones para
cada uno y se calculó el tiempo promedio (t Ì el
cual se calculó de la siguiente manera t Ì…=Σt/n donde Σt es la
sumatoria de los tiempo tomados con el cronometro y n es el número de veces que
se tomaron cada tiempo en este caso tres.
Las distancias en que se soltaron cada péndulo fueron:
x_1=74 sinat10aŸ¹ x_1=12,85 cm
x_2=91 sinat10aŸ¹ x_2=15,80 cm
x_3=112 sinat10aŸ¹ x_3=19,45 cm
x_4=134 sinat10aŸ¹ x_4=23,26 cm
x_5=152 sinat10aŸ¹ x_5=26,39 cm
x_6=172 sinat10aŸ¹ x_6=29,87 cm
x_7=190 sinat10aŸ¹ x_7=32,993 ≈33 cm
El tiempo promedio de cada péndulo fueron:
(t_1 ) Ì…=50,84/3=19,95 (s)
(t_2 ) Ì…=53,24/3=17,75 (s)
(t_3 ) Ì…=59.33/3=19,78 (s)
(t_4 ) Ì…=63,1/3=21,03 (s)
(t_5 ) Ì…=68.98/3=22,99 (s)
(t_6 ) Ì…=81,14/3= 27,04 (s)
(t_7 ) Ì…=78,75/3=26,25 (s)
Longitud (cm) t1
(seg) t2
(seg) t3
(seg) t Ì…(promedio)
(seg)
1 74 17 17,74 16,10 16,95
2 91 17,50 18,00 17,74 17,75
3 112 19,84 19,82 19,67 19,78
4 134 20,89 21,00 21,21 21,03
5 152 23,04 22,84 23,10 22,99
6 172 27,00 27,10 27,04 27,04
7 190 28,11 25,32 25,32 26,25
El periodo de del tiempo será denotado “T” el cual se calculara de la siguiente
manera
T=t Ì…/(ns oscilaciones)
Donde T será el promedio de los tiempos y elnúmero de oscilaciones tomado para
la práctica fue de 10 oscilaciones por cada tiempo tomado.
La cual se calculó para cada longitud que se indican en la tabla anterior, se
calculan de la siguiente manera:
T1=16,95/10=1,695seg T2=17,75/10=1.775seg
T3=19,78/10=1,978seg T4=21.03/10=2,10seg
T5=22,99/10=2,29seg T6=27,17/10=2,717seg
T7=26.25/10=2,625seg
Luego se calcularon los errores instrumentales, estadísticos y absolutos y se
colocaron es la siguiente tabla.
Longitud
(cm+error) t Ì…(promedio)
(seg) Ei Ee Ea Periodo
T+ΔT
1 74,1 16,95 0,5 6,5625 3,5313 1,695
2 91,1 17,75 0,5 2,0926 1,2963 1.775
3 112,1 19,78 0,5 0,8668 0,6834 1,978
4 134,1 21,03 0,5 1,6112 1,0556 2,10
5 152,1 22,99 0,5 1,4760 0,988 2,29
6 172,1 27,17 0,5 0,6447 0,5724 2,717
7 190,1 26,25 0,5 19,93 10,215 2,625
En donde el E_i=A/2 ecu (9) entonces,
Error instrumental de la cinta métrica es: E_i=1mm/2=0,5 y el error
instrumental del cronometro es: E_i=(1 seg)/2=0,5
Error estadístico E_e=± t (σ/√n) ecu (10) en donde σ es σ=√(Σ(t
Ì…-t)/(n-1)). Entonces obtenemos los valores de σ
1=0,6706; 2=0,2042;3=0,0759; 4=0,1327; 5=0,1112; 6=0,0411; 7=1,3152
Entonces los errores estadísticos son
Ee1=16,95 0,6706/(√3)=6,5625
Ee2=17,75 0,2042/(√3)=2,0926 Ee3=19,78 0,0759/(√3)=0,8668
Ee4=21,03 0,1327/(√3)=1,6112 Ee5=22,99 0,1112/(√3)=1,4760
Ee6=27,17 0,0411/(√3)=0,6447 Ee7=26,25 1,3152/(√3)=19,93
Error absoluto Ea=(E_i+E_e)/2 ecu (11) lo calculamos y obtuvimos
Ea1=(0,5+6,5625)/2=3,5313 Ea2=(0,5+2,0926)/2=1,2963
Ea3=(0,5+0,8668)/2=0,6834 Ea4=(0,5+1,6112)/2=1,0556
Ea5=(0,5+1,4760)/2=0,988 Ea6=(0,5+0,6447)/2=0,5724
Ea7=(0,5+19,93)/2=10,215
Con los datos que se obtuvieron del periodo T y de las longitudes l se hico una
grafica T vs l.
Luego se calcula la gravedad experimental que es g= (l (2π)^2)/T^2 ecu
(12) entonces las gravedades son:
g1=(74*a€–2πa€—^2)/a€–1,695a€—^2 =1016,84
g2=(91*a€–2πa€—^2)/a€–1,775a€—^2 =1140,26
g3=(112*a€–2πa€—^2)/a€–1,978a€—^2 =1130,12
g4=(134*a€–2πa€—^2)/a€–2,10a€—^2 =1199,57
g5=(152*a€–2πa€—^2)/a€–2,29a€—^2 =1144,28
g6=(172*a€–2πa€—^2)/a€–2,717a€—^2 =919,83
g7=(190*a€–2πa€—^2)/a€–2,625a€—^2 =1088,57
Ya calculada lagravedad experimental podemos calcular el porcentaje de
desviación % desviación= |(gteorica-gexperimental)/gteorica| entonces.
% desviación 1= |(9,81-1016,84)/9.81|=102,65
% desviación 2= |(9,81-1140,28)/9.81|=115,24
% desviación 4= |(9,81-1130,12)/9.81|=114,20
% desviación 5= |(9,81-1144,28)/9.81|=115,64
% desviación 6= |(9,81-919,83)/9.81|=92,76
% desviación 7= |(9,81-1088,57)/9.81|=109,97
Análisis y conclusión
En el experimento se puedo observar que el valor de la gravedad experimental
está muy alejado del valor de la gravedad teórica. Esto se debe a que la
gravedad experimental se calculó con una longitud medida con un instrumento de
medición como la cinta métrica esto quiere decir que esta gravedad tiene en
ella una serie de error arrastrados tal vez por la mala medición de los
operadores al momento de tomar la medida, también estuvo incluido el cronometro
con el que se tomó el tiempo de las diez oscilaciones el cual también arrastra
un error sistemático.
La conclusión a que se llega es que este método de calcular la gravedad
experimental como
g= (l (2π 2)/T^2 ecu (12) no es muy efectivo
tendría que haber una precisión de los operadores al momento de tomar las
medidas y al momento de hacer los cálculos.
