UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA DEPTO.DE
FÍSICA
electromagnetismo (FIS-620)
INGENIERIA PLAN COMUN
PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES, PRUEBAS Y EXAMENES PRIMER SEMESTRE 2005 A
PRIMER SEMESTRE 2007
Tema II: Ley de Gauss.
PROBLEMA II.1: Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de
carga uniforme ρ. Determine: a) el flujo del campo eléctrico ΦE que
atraviesa una superficie esférica de radio 2R, concéntrica con la esfera
cargada, b) el flujo del campo eléctrico que atraviesa una superficie esférica
de radio R/2, concéntrica con dicha esfera. SOLUCION: a) Según la ley de Gauss
φ E ( neto ) = ∫ E • dA =
S
r
r
Qint
ε0
= 4πkQint .
Entonces, para calcular el flujo del campo eléctrico que atraviesa la
superficie esférica de radio 2R, basta encontrar la carga total encerrada por
dicha superficie, es decir:
3 ρ Vesfera ρ 3 πR 4
πρR 3 16 2 φE = = = = π kρR 3 3 ε0 3 ε0
ε0
4
b) Análogamente, para el flujo eléctrico que atraviesa la superficie esférica
de radio R/2 se tiene:
φE =
ρ π ( )3 ε0
4 3
R 2
=
1 πρR 3 2 2 = π kρR 3 6 ε0 3
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1
PROBLEMA II.2: Una esfera sólida noconductora de radio R = 0,5 m contiene una
carga eléctrica uniformemente distribuida. a) Determine la carga de la esfera
si la magnitud del campo eléctrico a una distancia r = 10 m del centro de la
esfera es E = 1×105 V/m. b) Si la densidad de carga de la esfera es ρ =
5×10-3 (C/m3 determine el potencial eléctrico en un
punto ubicado a 10 m del centro de la esfera. c) Si ρ = 5×10-3 (C/m3),
determine el flujo eléctrico que atraviesa una superficie esférica de radio r =
0 m , concéntrica con la esfera cargada. d) Si la
carga de la esfera es Q = 6×10-3 C , determine el
campo eléctrico en un punto ubicado a 0,4 m de su centro. SOLUCION: a) En
cualquier punto fuera de una esfera cargada la magnitud del campo eléctrico es
Por lo tanto
kQ r2 E r 2 1 10 2 1 Q= = = 10 −3 C k 9 9 10 9 E=
b) El potencial en cualquier punto fuera de la esfera cargada es
V =
donde Por lo tanto c) Por Gauss, de modo que
kQ r
(tomando V=0 para r
∞ ),
4 Q = ρ Vol = ρ πR 3 3 3
4πkρR 4π 0,5 3 = V = = 2,36 10 6 V 3r 3 10
φ neto = 4πkQint ,
16 2 16 π kρr 3 = π 2 10 7 Vm 3 3
φ neto = 4πkρ πr 3 =
4 3
d) Estamos en el interior de la esferacargada. Para calcular el campo eléctrico
en un punto interior, elegimos como superficie gaussiana una superficie
esférica de radio r, concéntrica a la esfera cargada. Usando Gauss
φ neto = ∫ E • dA = 4πkQint , donde
S
r
r
Qint r3 = 3 Q R
por estar la carga uniformemente distribuida en la esfera. Entonces
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2
E 4πr 2 = 4πkQ
r3 R3
E=
kQr 9 0,4 V = = 1,73 10 8 3 3 m R 0,5
PROBLEMA II.3: Se tiene una carga puntual q en el centro de una corteza
esférica de radio a. La corteza posee una carga total Q uniformemente
distribuida en su superficie. a) Usando la ley de Gauss, encuentre el campo
eléctrico en puntos dentro y fuera de la corteza cargada (ra). Q Indique la superficie gaussiana elegida en cada caso. b)
Sea a = 30 cm el radio de la corteza esférica. Si el campo eléctrico a una
distancia r1 = 15 cm del
centro es q
r N ˆ E1 = 1 10 6 r ( ) y a una
distancia r2 = 60 cm es C r N ˆ E 2 = 2,5 10 4 r ( ) ,
determine las cargas q y Q. C
a
SOLUCION: a) Campo eléctrico para r < a . Se toma una superficie gaussiana
esférica concéntrica con la carga q, de radio r < a. Usando Gaussˆ φ
neto = ∫ E • ndA = ∫ E dA =E ∫ dA = E
4πr 2 = 4πkQint =
S S S
r
Qint
ε0
Como
Qint = q
r kq q ˆ ˆ E= 2r= r 4πε 0 r 2 r Qint
Campo eléctrico para r > a. Tomando una superficie gaussiana esférica de
radio r > a se tiene:
ˆ φ neto = ∫ E • ndA = ∫ E dA = E 4πr 2 = 4πkQint =
S S
r
ε0
Como
Qint = q + Q
r k (q + Q) q+Q ˆ ˆ E= r= r 2 4πε 0 r 2 r
b) Si r1 = 15 cm, estamos dentro de la corteza. Entonces, usando la expresión
del campo eléctrico calculado en (a) para puntos interiores a la corteza:
r kq 9 10 9 q ˆ ˆ ˆ E1 = 2 r = r = 1,2 10 6 r 2 r1 0,15
Despejando q: q = 3 10 −6 C = 3µC
Si r2 = 60 cm, estamos en un punto fuera de la corteza. Entonces, usando el
resultado encontrado en (a) para puntos exteriores a la corteza:
r k (q + Q) 9 10 9 (q + Q) ˆ ˆ ˆ E2 = r= r = 2,5 10 4 r r22 0,60 2
Por lo tanto,
q + Q = 1 10 −6 C = 1µC
Q = 1µC − 3µC = −2µC
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3
PROBLEMA II.4: Una corteza conductora esférica con una carga neta cero tiene un
radio interior R1 y un radio exterior R2. Se coloca una carga puntual q en el centro
de la corteza. a) Encontrar el campoeléctrico en cada una de las regiones r R2
y aplicamos la ley de Gauss. El resultado es análogo al caso r < R1 ya que
otra vez Qint = q .
r kq ˆ E= 2 r r
para r > R2 .
b) En la corteza conductora de carga neta cero, se ha producido un reordenamiento de la carga ya que el campo dentro de ella
es cero. En la superficie interior (de radio R1) se induce una carga “-q” y en
la superficie exterior (de radio R2 una carga “+q”.
Por lo tanto, la densidad superficial de carga en la superficie exterior de la
corteza es
σ=
+q 2 4πR2
4
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PROBLEMA II.5: Una esfera hueca no conductora de radio interior a y exterior
2a, posee una densidad volumétrica de carga ρ. Dos cargas puntuales +q y
–q se encuentran a una distancia a/2 del centro, como muestra la figura.
Determinar: a) el campo eléctrico en el punto P, que se encuentra a una distancia
3a del centro de la esfera, b) el campo eléctrico en el centro de la esfera.
SOLUCION: a) Campo eléctrico debido a la esfera hueca cargada. Usamos Gauss. Elegimos una superficie gaussiana esférica de radio 3a. Se
tiene:
y P
+q 2a
-q a
x
ˆ φ neto = ∫ E • ndA = ∫ E r dA = E r 4π (3a) 2 =
4πkQint =S S
r
Qint
ε0
Como Entonces
4 28 Qint = ρVesferahueca = ρ π (2a) 3 − a 3 =
πρa 3 3 3 28 7 E r = πkρa = ρa , 27 27ε 0 r 7 28
E esf .hueca = πkρaˆ = j ρaˆ j 27ε 0 27
kq a (3a ) + ( ) 2 2
2
[
]
,
Y vectorialmente en el punto P se tiene:
Campo debido al dipolo:
yr E1 P θ r E2 3a
1 37
E1 = E 2 =
=
4kq q = 2 37a 37πε 0 a 2
Las componentes “y” de los campos E1 y E2 se anulan. Por lo tanto, el campo del
dipolo es:
r ˆ E = 2 E1 cosθi , donde
Entonces:
cos θ =
ˆ i= 2q
a
2
37 a 2 4
2
=
+q
θ a/2
-q
x
r E dipolo =
8kq 37 a
2 3 2
37 πε 0 a
2
3
ˆ i
Campo total en P :
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5
r E=
2q 7 ˆ 28 ˆ i + πkρaˆ = 3 j i+ ρaˆ j 2 27 27ε 0 2 2 37 a 37
πε 0 a
3 2
8kq
b) El campo generado por la esfera hueca para cualquier punto r < a es igual
a cero ya que la carga encerrada por una superficie gaussiana esférica de radio
r < a es cero. En particular, en el centro de la esfera
r r E esf .hueca = 0
y
Por lo tanto, el campo generado por el dipolo es el campo total en O:
r kq ˆ 8kq ˆ E=2 i= 2 i a (a ) 2 2
r E1 +q O r -q E2
x
PROBLEMA II.6: Unaesfera sólida metálica de radio R1 = 0,5 m está rodeada por
un cascarón esférico conductor de radio interior R2 = 1,5 m y radio exterior R3
= 2 m. La esfera y el cascarón son concéntricos y ambos están cargados con
cargas desconocidas tales que en
ˆ r = 1 m el campo eléctrico es E1 = 720r ( r N ˆ E 2 = 792(−r )( ) .
Encontrar: C
r
N ) y en r = 2,5 m el campo eléctrico es C
a) la carga de la esfera interior, b) la carga del cascarón esférico , c) la
densidad superficial de carga de la superficie interna del cascarón.
R2
R1 R3
SOLUCION: a) Se sabe que en r = 1 m , esto es , en un
punto entre la esfera sólida y el cascarón, el
ˆ campo eléctrico es E1 = 720r (
r
N ) . Este campo se debe a la carga Q1 de la esfera interior ya C
que ésta es la carga encerrada por una superficie gaussiana esférica de radio r
= 1 m , concéntrica con la esfera. Entonces, por Gauss
ˆ φ neto = ∫ E1 • ndA = E1 4πr 2 =
4πkQ1
S
r
Por lo tanto, conocidos E1 y r, podemos calcular la carga de la esfera sólida
interior. Esta carga es positiva ya que la dirección del campo eléctrico
en esa zona es radial hacia fuera.
Q1 =
b)
E1 r 2 720 10 −9 C 9 k 9 10
r N ˆ es E 2 = −792r ( ) y se debe a la carga totalencerrada por una
superficie gaussiana esférica C ˆ φ neto = ∫ E 2 • ndA = − E 2
4πr 2 = 4πkQtotal
S
En r = 2,5 m estamos fuera del cascarón esférico. En estos puntos el campo
eléctrico
de radio r = 2,5 m. La carga total encerrada por dicha
superficie debe ser negativa debido a la dirección del campo. Por Gauss:
r
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6
Qtotal = −
E 2 r 2 792 10 −9 C = k 9 10 9
Llamando Q2 a la carga del cascarón, debe cumplirse:
Qtotal = Q1 + Q2
Q2 = Qtotal − Q1 = (−550 − 80) 10 −9 C = −630
10 −9 C
c) En la superficie interna del cascarón se induce una carga de igual valor a
la carga de la esfera sólida interior pero de signo contrario, debido a que el
campo en el interior del cascarón (entre R2 y R3) es cero. Por lo tanto, la
densidad superficial de carga de la superficie interna del cascarón es
σ=
− Q1 80 10 −9 C C =− = −2,83 10 −9 2 2 2 2 4πR2 4π 1,5 m m
PROBLEMA II.7: Una esfera conductora de radio R1 tiene una carga total Q1 (
> 0 ) . Está rodeada por un cascarón esférico concéntrico de radio interior
R2 y exterior R3, también conductor y con una carga total Q2 (
> 0 ). Determine: a)el campo eléctrico en
las regiones r > R3 y R1 < r < R2, b) la diferencia de potencial entre
ambas esferas. Si mediante un hilo conductor se conectan ambas esferas,
calcule: c) el campo eléctrico en las regiones r > R3 y R1 < r < R2,
d) la diferencia de potencial entre ambas esferas. SOLUCION: a) Para r > R3 , por Gauss.
Eligiendo una superficie gaussiana esférica de radio r > R3
:
R2
R1 R3
∫
donde: Despejando: Para R1 < r < R2 :
S
r ˆ E n dA = E 4 π r
2
=
Qint
ε
,
0
Q int = Q 1 + Q 2
r Q +Q2 ˆ E= 1 r 4π ε 0 r 2
Se elige superficie gaussiana esférica de radio R1 < r < R2.
∫
donde: Despejando: b) Tenemos:
S
r ˆ E n dA = E 4 π r
2
=
Qint
ε
,
0
Qint = Q 1
r E=
Q1 4π ε
0
r
1
2
ˆ r
r r aˆ† V = V1 − V2 = − ∫ E d l
2
Debemos tomar el campo eléctrico que existe entre las esferas, es decir, para
R1 < r < R2
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V1 − V2
=−
R1
R2
∫ 4π ε
Q1
0
r
2
dr
=−
Q1
R1
4π ε
0 R2
∫r
dr
2
V1 − V2
=
4π ε
Q1
0
Q1 aŽt1aŽ¤ aŽ¢ r aŽ¥ = 4π ε aŽ£ aŽ¦R
2
R1
0
aŽt 1 1 aŽ¤ aŽ¢ − aŽ¥ aŽ£ R1 R2 aŽ¦
c) Al conectar las esferas, ambasquedan al mismo potencial. Toda la carga se
deposita en la superficie exterior del
cascarón esférico ( en r = R3 ). Para r > R3 , por Gauss se obtiene
r Q +Q2 ˆ E= 1 r 4π ε 0 r 2
ya que al elegir una superficie gaussiana esférica de radio r > R3 , Para
R1< r < R2 ,
Q int = Q 1 + Q 2 r r E = 0 ya que no hay carga en la región r > R3
d) aˆ†V = 0 ya que ambas esferas quedan al mismo potencial. PROBLEMA II.8: Una
corteza esférica metálica, de radio interno 2R y externo 4R, tiene una carga
positiva de valor 2Q. En su interior se coloca una esfera de
radio R y carga de valor desconocido distribuida uniformemente. El campo
eléctrico en un punto P ubicado a una distancia r = 5R es E =
r
Q
10πε 0 R 2
ˆ r . Determine, en función de Q, ε0 y R
a) la carga de la esfera colocada en el centro, b) el campo eléctrico en r = R,
c) el campo eléctrico y el potencial en r = 3R. SOLUCION: a) Como
se conoce el campo eléctrico a una distancia r = 5R del centro, usando
la ley de Gauss se puede encontrar la carga neta encerrada por una superficie
gaussiana de radio r = 5R.
r Q E • ndA = ∫ E dA = E ∫ dA = E 4π (5R ) 2 =
enc ∫ ˆ
S S S
ε0
Despejando Entonces,
Qenc = Qcort + Qesf = 100πε 0 ER 2 = 100πε 0 Qesf = Qenc − Qcort = 10Q −2Q = 8Q
Q
10πε 0 R
2
R 2 = 10Q
b) En r = R , o sea, en la superficie de la esfera interior,
r kQesf Qesf 8Q 2Q ˆ ˆ ˆ ˆ r= r= r r= E= 2 2 2 4πε 0 R 4πε
0 R πε 0 R 2 R
c) En r = 3R estamos en el interior de la corteza esférica metálica, con la
carga depositada en ambas superficies, interior y exterior.
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r r E=0
en el interior del
conductor.
Como el campo eléctrico es cero en el interior del
conductor, el potencial es constante dentro de él, y debe ser igual al
potencial que existe en la superficie exterior de la corteza, en r = 4R.
V ( r = 3R ) = V ( r = 4 R ) =
Qenc 10Q 5Q = = 4πε 0 (4 R) 16πε 0 R 8πε 0 R
PROBLEMA II.9: Una corteza esférica de radio R1 posee una densidad superficial
de carga σ 1 uniformemente distribuída en su superficie. Una segunda
corteza esférica de mayor radio R2, concéntrica con la anterior, posee una
densidad superficial de carga σ 2 uniformemente distribuída en su
superficie. Encontrar: a) el campo eléctrico a una distancia r>R2 en función
de σ σ 2 , R1 y R2, b) la razón
σ1 para que el campo eléctrico sea cero para r>R2.
c) Compare las cargas de ambas cortezas esféricaspara que el campo eléctrico
sea cero para r>R2. SOLUCION: a) Usaremos la ley de Gauss:
φ neto
r r Q = ∫ E • dA = int
S
ε0
r E σ1
Por simetría, el campo eléctrico debe ser radial y su magnitud dependerá solo
de la distancia al centro de las cortezas esféricas. Elegimos
una superficie gaussiana esférica r de radio r>R2. Como E es
perpendicular a la superficie elegida y constante en magnitud en cualquier
punto de ella, el flujo que atraviesa la superficie es:
r dA
R1 R2 r
σ2
φ neto = ∫ E dA = E ∫ dA =
E 4πr
S S
Superficie gaussiana
2
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La carga total encerrada por esta superficie gaussiana es la suma de las cargas
de ambas cortezas:
2 Q1 + Q2 = 4πR12 σ 1 + 4πR2
σ 2
Entonces:
E 4πr 2 =
2 4π ( R12σ 1 + R2 σ 2 )
ε0
2 r R 2σ + R 2σ 4πk ( R12σ 1 + R2 σ 2 ) ˆ ˆ r E= 1 1
22 2r= ε 0r r2
b) Si el campo es cero para r>R2 debe cumplirse:
2 R12σ 1 + R2 σ 2 = 0
σ1 R2 =− 2 , σ2 R12
esto es, las densidades superficiales de carga de ambas cortezas deben ser de
distinto signo e inversamente proporcionales a sus radios al cuadrado.
2 y Q2 = 4πR2 σ 2 , debido a la condición
encontradaen b), c) Como Q1 = 4πR12σ 1 las cargas deben ser iguales
en magnitud y de signo contrario.
Q1 = - Q2
PROBLEMA II.10: Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad
de carga ρ proporcional a la distancia desde el centro: ρ = Ar para r
≤ R , donde A = constante , y ρ = 0 para r > R. Determine, en
función de A, ε0 y R : c) la carga total de la esfera, d) el campo
eléctrico para r > R y para r < R. SOLUCION: a) Se tiene dQ = ρ dV con ρ = Ar en el interior de la esfera de radio R.
Tomamos como elemento de volumen el volumen de una corteza esférica de radio r
y espesor dr:
dV = 4πr 2 dr
Entonces
dQ = Ar 4πr 2 dr = 4πAr 3 dr
La carga total de la esfera es:
Q = 4πA∫ r 3 dr = 4πA
0
R
R4 = πAR 4 4
b) Para r > R: Debido a que el campo eléctrico es radial y, a una distancia
dada del centro tiene una magnitud constante, elegimos una superficie gaussiana
esférica de radio r > R y concéntrica a la esfera:
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r Q πAR 4 ˆ E • ndA = ∫ EdA = E ∫ dA = E 4πr 2 = int = ∫
S S S
ε0
ε0
,
ya que toda la esfera cargada está dentro de la superficie gaussiana elegida.
Despejando E de la relación anterior:AR 4 E= 4ε 0
r 2
y vectorialmente:
r AR 4 ˆ r E= 4ε 0 r 2
Para r < R : Nuevamente elegimos superficie gaussiana esférica concéntrica a
la esfera, pero de radio r < R. Análogamente se obtiene
ˆ ∫ E • ndA = E 4πr
S
r
2
=
Qint
ε0
En este caso Qint = πAr 4 resultado de la parte (a) ). Entonces,
(carga contenida en una esfera de radio r < R , de acuerdo a
E 4πr 2 = E= Ar 2 4ε 0
πAr 4 ε0
y, despejando E se tiene:
y vectorialmente:
r Ar 2 ˆ E= r 4ε 0
PROBLEMA II.11: Una carga puntual Q0 = 2000 µC se encuentra en el centro de una
corteza esférica de radio R1 = 1 m y de densidad superficial de carga σ1 =
+125 µC/m2. Se coloca otra corteza esférica concéntrica con la anterior, de
radio R2 = 2 m. Encuentre: σ2 a) la densidad superficial de carga de esta
segunda corteza (σ2 ), de modo que el campo
eléctrico para R2 σ1 r > 2 m sea igual a cero, b) el campo eléctrico
para r < R1, Q0 c) el campo eléctrico para R1 < r < R2.
R1
SOLUCION: a) Tomamos una superficie gaussiana esférica de radio r > 2 m . Si el campo eléctrico es cero en esta
zona, la carga neta encerrada por dicha superficie debe ser cero. Por lo
tanto, Q0 + Q1 + Q2 = 0 , donde Q1 es la carga total de la corteza de radio R1
y Q2 es lacarga total de la corteza de radio R2. Como Q1 = 4πR12 125 = 1571µC , entonces: Q2 = −(Q0 + Q1 ) = −(2000 +
1571) µC = −3571µC ,
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σ2 =
Q2 µC − 3571µC = = −71,0 2 2 2 2 4πR2 4π 2 m m
b) Usamos la ley de Gauss:
S
ˆ φ neto = ∫ E • ndA = 4πkQenc
Elegimos superficie gaussiana esférica de radio r < R1, concéntrica con la
carga Q0. El campo eléctrico y la normal a dicha superficie en cada punto son
paralelos y la magnitud del
campo es la misma en todos los puntos, de modo que: φ neto = E 4πr 2 = 4πkQ0 , ya que la
carga en el interior de esa superficie elegida es la carga puntual Q0.
Despejando el campo
r
E=
Y vectorialmente:
kQ0 9 10 6 N = = r2 r2 r2
C r 18 10 6 N ˆ E= r( ) C r2
c) Ahora usamos una superficie gaussiana esférica de radio R1 < r < R2.
Con el mismo razonamiento anterior, se obtiene: φ neto = E 4πr 2 = 4πk (Q0 + Q1 ) .
Despejando
E=
k (Q0 + Q1 ) 9 10 6 N = = C r2 r2
r2
r 32,1 10 6 N ˆ E= r( ) C r2
PROBLEMA II.12: Una esfera de radio R cargada uniformemente, está rodeada por
un casquete conductor, de radiosinterior 3R y exterior 4R, cargado con una
carga negativa q = −20πAR 2 (siendo A una constante conocida). Se
mide el campo eléctrico en r = 2R obteniéndose E =
r
5A ˆ r . Determine, en función de A y R : 4ε 0
a) la carga y la densidad volumétrica de carga (ρ) de la esfera, b) el
campo eléctrico y el potencial eléctrico en un punto a r = 5R del centro. Elija V = 0 en r SOLUCION: a) Usando Gauss
Casquete conductor Esfera no conductora
ˆ φ neto = ∫ E • ndA =
S
r
Qenc
ε0
2R
y tomando una superficie gaussiana esférica de radio 2R, se tiene
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ˆ ∫ E • ndA = ∫ E dA = E 4π (2 R)
S S
r
2
=
Qesfera
ε0
El campo E es conocido. Despejando Qesfera
Qesfera = E 16πε 0 R 2 =
5A 16πε 0 R 2 = 20πAR 2 4ε 0
Y la densidad volumétrica de carga de la esfera es:
ρ=
Qesfera Vesfera
=
20πAR 2 15 A = 4 3 R πR 3
b) Para encontrar el campo eléctrico a una distancia r = 5R del centro, se
elige otra superficie gaussiana esférica de radio r = 5R. Esta
superficie rodea el casquete conductor y la esfera cargada. La carga
neta encerrada por esta superficie es
Qneta = Qesfera +Qcasquete = 0
Como la carga
neta encerrada por esta superficie es cero, usando la ley de Gauss se encuentra
que
r r E=0 .
Como el campo eléctrico es cero fuera del casquete ( y también dentro de él), el potencial eléctrico en esa
zona debe ser constante. Si se elige V = 0 en r entonces V(r=5R) =
0.
PROBLEMA II.13: a) Usando la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico a una
distancia r de una carga lineal infinita de densidad lineal λ = constante.
y(m b) Una carga lineal infinita de densidad q lineal
uniforme λ = -1,5 µC/m es 2 paralela al eje y en x = - 1 m. Una λ
carga puntual q = 1,8 µC está localizada en el punto (2 m, 2 m).. P 1
Determinar el campo eléctrico en el punto P m, 1
m) SOLUCION: a) Ley de Gauss:
φ neto = ∫ E • dA =
S
r
r
-1 Qint
1
2
x(m)
ε0
13
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Por simetría, las líneas de campo son radiales a la carga lineal infinita,
apuntan hacia afuera si λ es positiva y hacia adentro si λ es
negativa. Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica de largo L y radio r,
con eje en la
línea cargada. El campo eléctrico es
perpendicular a la superficie cilíndrica y tiene el mismo valor en cualquier
punto de lasuperficie. No hay flujo a través de las caras
basales del
cilindro. Por lo tanto: y la carga interior es Se tiene entonces
φ neto = ∫ E dA = E ∫ dA =
E 2πrL
S S
Qint = λL .
E=
λ 2πrε 0
b) Sea E1 el campo en P debido a la carga lineal infinita (ver figura)
r
r E1 = − r
λ ˆ 1,5 10 −6 ˆ ˆ N i =− i = −13,5 10 3 i ( ) −12 C 2πdε 0 2π 10
λ
y(m) 2 1 r E1 r E2 1 P
q
Sea E 2 el campo en P debido a la carga puntual. La magnitud de este campo es:
N kq 9,0 10 3 : E2 = 2 = 2 2
C r 1 +1
y vectorialmente:
-1
2
x(m)
r ˆ ˆ j N E 2 = E 2 (− cos 45s i − sen45s ˆ) = −5,7 10 3 (i + ˆ) j C
El campo total en P es:
r r r N ˆ E = E1 + E 2 = −(19,2i + 5,7 ˆ) 10 3 ( ) j C
PROBLEMA II.14: a) Se tiene un plano infinito uniformemente cargado con
densidad superficial de carga +σ. Usando la ley de Gauss determine el
campo eléctrico en un punto ubicado a una distancia d del plano. (Indique claramente cuál es la superficie gaussiana elegida y
fundamente la elección). - σ σ
b) Tres planos infinitos uniformemente cargados, con densidades superficiales
de carga σ , -σ y σ I II III IV son paralelos entre sí (ver
figura). Determine el campo eléctrico en las regiones I,II,
III y IV.
Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM,
2s Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto ˆ
j
14
ˆ i x=0
d
3d
x
SOLUCION: a) Por simetría, el campo eléctrico debe ser perpendicular al plano, saliendo de él y dependiente sólo de la distancia del punto al plano.
Se elige como
superficie gaussiana un cilindro (o un paralelepípedo) de área basal A, con su
eje perpendicular al plano.
Solo hay flujo a través de las caras basales, no a través r r del
manto del
cilindro pues allí E es perpendicular a dA . En las caras basales, E y dA son paralelos. Aplicamos la ley de
Gauss
+σ
r dA r dA
r
r
φneto = ∫ E • dA = 4πkQint =
r
r
Qint
φneto
r r = ∫ E • dA +
manto
S
r ya que E es constante en cada base y de igual magnitud. Como Qint = σA , entonces: σA σ 2E A = E= = 2πkσ
ε0 2ε 0
Esto es, la magnitud del campo eléctrico es
independiente de la distancia al plano.
b) Sean 1, 2 y 3 los planos numerados de r r r izquierda a derecha y E1 , E2 yE3
los correspondientes campos eléctricos dibujados de arriba hacia abajo en cada
una de las regiones. Por superposición se tiene:
base1
r r E • dA + ∫
base 2
r r E • dA = 0 + 2 E A ∫
ε0
r E d d
r E
σ
r E1 r E2 r E3I II
-σ III
σ
IV
r σ σ σ ˆ σ ˆ EI = (− + − i )i = −
2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 r σ σ σ ˆ σ ˆ EII =
( + − i )i = 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 r σ σ
σ ˆ σ ˆ EIII = ( − − i )i = − 2ε 0 2ε 0
2ε 0 2ε 0 r σ σ σ ˆ σ ˆ EIV = ( − + i )i =
2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0
1
ˆ i x=0
2 d
3 3d x
PROBLEMA II.15: a) Usando la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico debido
a un plano infinito cargado uniformemente con una densidad superficial σ.
Dos planos infinitos cargados son paralelos entre sí y paralelos al plano YZ.
Uno está colocado en x = - a y tiene una densidad superficial de carga σ.
El otro está colocado en x = a y tiene una densidad superficial de carga
-σ. Determine: b) el campo eléctrico para –a < x < a, c) el campo
eléctrico para x > a, d) la diferencia de potencial entre el origen y un
punto del plano x = a.
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FIS-620 / Edición Piloto 15
SOLUCION: a) Ley de Gauss:
φ neto = ∫ E • dA =
S
r
r
Qint
ε0
Por simetría el campo debe ser perpendicular al plano y debe tener el mismo
valor en puntos situados a la misma distancia a uno y otro lado del plano. Las
líneas de campo salen del
plano si σ es positivo y llegan al plano si σ es
negativo. Se elige comosuperficie gaussiana un
cilindro con su eje perpendicular al plano, con
su centro en el plano.
Las caras del
cilindro son paralelas al plano,
de área A. No existe flujo a través del
manto del
cilindro. Sí a través de las caras basales. Por lo
tanto: y la carga interior es Entonces :
φ neto = 2 ∫ E dA = 2 E ∫ dA
= 2 E A
S S
Qint = σA.
2E A =
σA ε0
E=
σ = 2πkσ 2ε 0
σ
y -σ
Esto es, el campo no depende de la distancia al plano.
r Sea E1 el campo debido al plano ubicado en x = -a r y E 2 el campo debido al
plano en x = a. Usando el
resultado obtenido en a):
b) Campo eléctrico para –a < x < a:
r σ ˆ ˆ E1 = i = 2πkσi ; 2ε 0
r σ ˆ ˆ E2 = i = 2πkσi 2ε 0
Por lo tanto:
-a
r σ ˆ ˆ E = i = 4πkσi
ε0
r E
a
x
r r σ ˆ σ ˆ ˆ ˆ E1 = i = 2πkσi , E2 = − i = −2πkσi
2ε 0 2ε 0 r r r r Por lo tanto E = E1 + E 2 = 0
d) Todos los puntos del plano x = a están al mismo potencial. Como
el campo que existe entre los planos infinitos es uniforme, la diferencia de
potencial entre el origen y cualquier punto del
plano x = a es
c)
Campo eléctrico para x > a:
V = E a =
σ a = 4πkσa ε0
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