Figura 5.9
Ingresos del 15% mas pobre

Buscar el area en la tabla. En esta oportunidad se tiene un area y se puede utilizar la tabla E para buscar el valor correspondiente de Z. Aunque se esta interesado en el valor de 0.15, se busca 0.3500 (0.5 - 0.15), ya que solo el area de la media a algún valor por encima o por debajo de ella esta dado en la tabla. Se busca en la estructura interna de la tabla En el area de 0.3500. Lo mas próximo que se obtiene es 0.3508, lo que corresponde a un valor de Z de 1.04. (La extrapolación puede utilizarse cuando se requiere un grado mayor de exactitud). Debido a que

y a que se hallo un valor Z de 1.04, se tiene que

Cuando se despeja X y se halla X = US$10,120. Cualquiera con un ingreso de US$10,120 o menos recibira el subsidio del gobierno.

Vale la pena destacar el signo negativo para el valor de Z. El signo algebraico Z no fue importante en problemas anteriores simplemente porque se utilizo el valor de Z para buscar un area en la tabla E. Sin embargo, este no es nuestro caso. En esta ocasión, el valor de Z se utiliza para calculos matematicos adicionales para despejar X. Por consiguiente, su signo si es de importancia. La regla general es que si se trabaja con el area a la izquierda de la media, el signo siempre es negativo.
Ejemplo 5.8 Mejorando laprevención urbana contra incendios
Se ha creado una comisión estatal para reducir los tiempos de respuesta de tres estaciones de bomberos. Un grupo de expertos intenta identificar los departamentos de bomberos cuyos tiempos de respuesta estén en el 10% mas bajo, o quienes toman mas del 90% de todas las estaciones de bomberos en el estudio. Los del primer grupo sirven como modelos para las unidades menos eficientes del segundo grupo.
Los datos muestran que los tiempos promedio de respuesta para una cierta clase de estaciones de bomberos es de 12.8 minutos, con una desviación estandar de 3.7 minutos.

Solución
Se asume que los tiempos de respuesta estan distribuidos normalmente; la figura adjunta ilustra el problema. Deben determinarse dos tiempos de respuesta. El primero es tan corto que solo el 10% de todas las unidades contra incendios Megan al sitio del incendio dentro de dicho lapso. El segundo, es tan largo que solo el 10% de las unidades toman el mayor tiempo. La formula Z se utiliza para determinar cada valor de X. Para establecer el tiempo de respuesta mas rapido, se observa 0.4000 en la estructura interna de la tabla E. Aunque se esta interesado en el 10% mas bajo, se busca 0.4000,



ya que la tabla así esta diseñada. La entrada 0.3997 es el valor mas próximo y da un valor de Z de 1.28.
Debido aque se esta buscando el valor para X en la cola izquierda, el valor de Z se da en el signo negativo apropiado.

y

El valor de Z para X2 esta dado en un signo positivo debido a que se busca un valor en la cola derecha que es mayor que la media.
Interpretación
En esta clasificación solo el 10% de las estaciones de bomberos respondió a las llamadas en menos de 8.06 minutos. Estas unidades de bomberos serviran como programas modelo para el 10% de las estaciones de bomberos cuyos recorridos superan los 17.54 minutos.
APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución binomial involucra una serie de n ensayos que pueden producir (1) un 6xito o (2) un fracaso. La probabilidad de un 6xito se indica como ir. Las respuestas pueden hallarse a menudo en la tabla binomial o utilizando la formula binomial, formula (5.3). Sin embargo, si n es demasiado grande, puede exceder los confines de cualquier tabla y la formula puede ser excesivamente engorrosa. Debe diseñarse un m6todo alternativo. La solución puede hallarse con el use de la distribución normal para aproximar la distribución binomial. Esta aproximación se considera lo suficientemente precisa si nπ≥ 5 y n(1 - π) ≥ 5 y si π esta próximo a 0.50.
Se considera un sindicato laboral en el cual el 40% de los miembros esta a favor de una huelga. Sise seleccionan 15 miembros de manera aleatoria, ¿cual es la probabilidad de que 10 apoyen un paro? Para la tabla binomial se halla
P(X = 10l n = 15 = 0.40) = 0.0245

Si no se pudiera utilizar la tabla, podría aproximarse a la respuesta utilizando la distribución normal. Primero se debe hallar la media u y la desviación estandar 6 de la distribución normal así.

En este proceso,
Debido a que existe un número infinito de valores posibles en una distribución normal (o en cualquier distribución continua), la probabilidad de que la variable aleatoria sea exactamente igual a algún valor específico como 10, es cero. Cuando se utiliza una distribución continua para estimar una variable aleatoria discreta, es necesario un leve ajuste. Este ajuste, llamado factor de correcci6n de continuidad, requiere que se trate la probabilidad de exactamente 10 miembros como el intervalo entre 9.5 miembros y 10.5 miembros. Esto se ilustra en la figura 5.10, la cual muestra las probabilidades para cada valor de la variable aleatoria (numero de miembros) tomada de la tabla B.
Figura 5.10
Aproximación
normal a la binomial

La probabilidad de que exactamente 10 miembros estén a favor de una huelga esta representado por el area del rectangulo centrado en 10. Vale la pena destacar que el rectangulo se extiende de 9.5a 10.5. La curva normal esta superpuesta sobre los rectangulos.
Utilizando la distribución normal para hallar P(9.5 ≤ x ≥ 10.5), se tiene.

Para un area de 0.4678, y
Para un area de 0.4911. Entonces, P(9.5≤X≤ 10.5), = 0.4911- 0.4678 = 0.0233, lo cual es una aproximación muy cercana al 0.0245 que se encuentra en la tabla B.
Ejercicios de la sección
32.- Los paquetes de cereal Cheerios de general Mills vienen en cajas de 36 onzas que tienen una desviación estandar de 1.9 onzas. Se piensa que los pesos estan distribuidos normalmente. Si se selecciona una caja aleatoriamente, cual es la probabilidad de que la caja pese
a. ¿Menos de 34.8 onzas?
b. ¿Mas de 34.8 onzas?
c. ¿Entre 34.3 onzas y 38.9 onzas?
d. ¿Entre 39.5 onzas y 41.1 onzas?
33. Como ingeniero constructor usted compra bolsas de cemento de un promedio de 50 Libras, con una desviación estandar de 5.2 libras. Desde que usted tuvo el accidente escalando una montana, el medico le dijo que no levantara nada que pesara mas de 60 Libras. ¡,Debería usted cargar una bolsa?
34. Se publica que los frenos de los nuevos autos de la marca Lambourginis duran un promedio de 35,000 millas con una desviaci6n estandar de 1,114 millas. Cual es la probabilidad de que los frenos del auto que usted acaba de comprar le duren:
a. ¿Mas de 35,000 millas?
b.¿Menos de 33.900 millas?
c. ¿Menos de 37.500 millas?
d. ¿Entre 35,200 y 36,900 millas?
35. Los sobrecostos por actualización de computadores en su empresa tienen un promedio de US$23,500, con una desviación estandar deUS$9,400. Como director ejecutivo de la División de Investigación, usted no desea arriesgarse a mas de 34% de probabilidad que el sobrecosto en una actualización propuesta recientemente exceda de US$25,000. ¡,Debería ejecutar la actualización?
36. El promedio de los salarios en los bancos comerciales en Illinois es de US$22 por Nora, con una desviación estandar de US$5.87. Cual debe ser su salario por hora si desea ganar:
a. ¿Mas que el 80% de todos Los empleados?
b. ¿Mas que el 30% de todos los empleados'?
c. ¿Menos que el 20% de todos los empleados?
d. ¿Mas que el 50% de todos los empleados?
37. Los empleados en Coopers-Price and Lybrand trabajan un promedio de 55.8 horas por semana, con una desviación estandar de 9.8 horas. Los ascensos son mas probables para los empleados que estan dentro del 10% de los que pasan mas tiempo trabajando. ¿Cuanto debe trabajar usted para mejorar sus oportunidades de ascenso?
38. Los registros muestran que 45% de todos los autom6viles producidos por Ford Motor Company contiene panes importadas de Japón. ¡Cual es la probabilidad de que lospr6ximos 200 carros, 115 contengan partes japonesas?
Problemas resueltos
1. Distribución binomial. Un fabricante en California le suministra un diseño prototipo para una pieza de aeronave que requiere su negocio. Este nuevo producto, que es enviado en lotes de n = 12, sufre de una tasa de defectos de 40%.
a. Si usted no desea un riesgo mayor del 10% en la probabilidad de que 5 de los 12 sean defectuosos ¿debería comprarle a ese distribuidor?
De la tabla B, P(X = 5 In =12, 7r= 0.40) = 0.2270 > 10%. No compre.
b. Si usted no desea enfrentar un riesgo mayor del 20% de probabilidad de que mas de 5 salgan defectuosos, debería comprarle a este proveedor?

De la tabla C, P(X > 5 1 n =12, 9 = 0.40) =1- P(X < 5 1 n =12, n = 0.40) =1- 0.6652 = 0.3348 > 20%. Usted no debería comprarle a este proveedor.
2. Distribución hipergeometrica Una tienda de productos deportivos tiene en existencia N= 20 pares de botas para esquiar de las cuales r = 8 son de su talla. Si usted selecciona n = 3 pares que usted desea, ¿ cual es la probabilidad de que x = 1 le quede bien?
3. Distribución de Poisson El cable utilizado para asegurar las estructuras de los puentes tiene un promedio de 3 defectos por cada 100 yardas. Si usted necesita 50 yardas, ¿cual es la probabilidad de que haya una defectuosa?
Debido a que lamedia esta dada en términos de 100 yardas, se debe determinar que porcentaje de 100 yardas es 50: 50/100 = 0.50. Entonces, en número promedio de defectos por 50 yardas es (3 0.50) = 1.5.
De la tabla D, P(X = 1 X I u = 1.5) = 0.3347, o utilizando la formula,

4. Distribución exponencial Como gerente de Burguer Heaven, usted observa que los clientes entran a su establecimiento a razón de 8 por hora. ¿Cual es la probabilidad de que pasen mas de 15 minutos entre la llegada de 2 clientes?
Aunque la razón media esta dada originalmente como 8 por 60 minutos, se desea saber la probabilidad de que transcurran 15 minutos. Debe determinarse que porcentaje de 60 minutos es 15: 15/60 = 0.25. Asi, t es 0.25 y -µt = -8(.25) = -2. Para determinar P(X > 15), primero se debe hallar P(X ≤ 15) y restar de 1.00. Si se tiene que x = 0 y µt = 2, la tabla D muestra que P(X ≤15 1- e-8(0.25) =1- e2 =1- 0.1353 = 0.8647. Entonces, P(X> 15) =
1- 0.8647 = 0.1353.
Si se utiliza la formula (5.8) en lugar de la tabla

Entonces,
5. Distribución uniforme Los tiempos de terminación de un trabajo oscilan entre 10.2 minutos a 18.3 minutos y se piensa que estan distribuidos uniformemente. ¿Cual es la probabilidad de que se requiera entre 12.7 y 14.5 minutos para realizar este trabajo?

6. Distribución normal ElMinisterio de Agricultura de Estados Unidos en un estudio sobre cultivos ha detectado que las precipitaciones diarias en ciertos lugares de Hawaii parecen estar distribuidas normalmente con una media de 2.2 pulgadas durante la estación lluviosa. Se determine que la desviación estandar era de 0.8 pulgadas.
a. ¿Cual es la probabilidad de que llueva mas de 3.3 pulgadas en un día durante la estación lluviosa?

Como se ve en la grafica, un valor de Z de 1.38 da un area de 0.4162. Así, P(X > 3.3) = 0.5000 - 0.4162 = 0.0838.

b. Halle la probabilidad de que llueva mas de 1.3 pulgadas


El valor de Z de -1.13 produce un area de 0.3708, y P(X> 1.3) = 0.5000 + 0.3708 =0.8708.
c. ¿Cual es la probabilidad de que las precipitaciones estén entre 2.7 y 3.0 pulgadas?

Por tanto, P(2.75 X< 3.0) = 0.3413 - 0.2357 = 0.1056.

d. ¿Cuanta precipitación debe presentarse para exceder el 10% de las precipitaciones diarias?
Como se observa en la grafica, un area de 0.40 esta relacionada con el valor de Z de -1.28. Por tanto

7.


Aproximación normal a la distribución binomial E145% de todos los empleados del centro de capacitación gerencial en Cóndor Magnetics tienen títulos universitarios. ¿Cual es la probabilidad de que de los 150 empleados seleccionados aleatoriamente, 72 tengan titulo universitario?