Ecuaciones Diferenciales en la física





Índice                           Introducción Ecuaciones diferenciales Clasificación y orden Orden de las ED Clasificación Métodos de solución para ED Ecuaciones diferenciales de primer orden Separación de variables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferencial lineal de primer orden Conversión a la ecuación integral Métodos de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden Método de coeficientes indeterminados Método de separación de variables Ejemplos de la ecuaciones diferenciales para la solución de sistemas físicos Oscilador armónico simple Oscilador armónico amortiguado Oscilador armónico forzado Problemas donde intervienen péndulos Ecuaciones diferenciales parciales en la física Ejemplos de Ecuaciones de transporte Ejemplos de Ecuaciones de Onda Ejemplos de la ecuación de Helmholtz Ejemplos de la ecuación de Laplace Ejemplos de la ecuación de Schrödinger Átomo de hidrogeno 3 4 4 4 5 7 7 7 7 8 11 12 14 15 16 21 23 28 30 33 34 46 52 61 68 77

2




Introducción.
Una de las herramientas matemáticas más utilizada en la actualidad para la descripción de fenómenos físicos son las ecuaciones diferenciales. Dado que al tratar de entender cualquier fenómeno físico, la mente crea una idealización y lo plasma en un modelo matemático, donde al tomar el aspecto central del fenómeno, estudia suscausas y lo describe en forma matemática (figura 1). Gracias a esta teoría es posible describir tanto el fenómeno como las aplicaciones que este pudiera tener. El estudio de las propiedades de la ecuación obtenida permiten sondear otras características que no son tan evidentes, incluso se pueden predecir hechos o fenómenos que de la observación no se obtienen. Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grandes grupos: las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales. Si una ecuación diferencial es empleada en la descripción de un fenómeno físico, matemáticamente la solución nos dará una función, la cual al ser utilizada para describir el sistema esta podrá estar representada como un desarrollo ya sea en el tiempo, el espacio y demás variables que ayuden a la descripción del fenómeno. Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Para ello mostrare el desarrollo de varios fenómenos físicos en forma de una ecuación diferencial, así como encontrar el método para poder encontrar una solución esta, y así poder darle un sentido físico a dicha solución.


Observación Modelos Matemáticos

Fenómeno físico

No Satisfacen el problema real

Solución con condiciones observables

Si

Solución

Fig. 1.- Diagrama que ilustra el empleo de las Ecuaciones Diferenciales en la física

3




Ecuaciones diferenciales.Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona a una función, a su variable o variables independientes, y a sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.).

Clasificación y orden de una E.D.  Orden de las E.D.
El orden de una E.D.O. esta dado por el orden de la derivada de más alto valor, la manera más general de representarla es: , , ′ , … , =0 1

Lo cual nos describe una E.D.O. de orden n. la ecuación (1) representa una relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus n primeras derivadas, si convenientemente decimos que = pudiendo rescribir (1) como , , ′, … , = 0 Un ejemplo entonces de una ecuación diferencial de orden 3 será ′′′ + 2 ′′ + ′ = 4 Una ecuación diferencial parcial para una función , , … con derivadas parciales , , , , , … es una relación de la forma , , , , , , , … = 0 3 2

Donde F es una función de las variables , , … , , , , , , , … en donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función , , … es solución de (3), si en algún espacio de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en , , …

4



Como en las E.D.O. una E.D.P. es de orden n, si las derivadas de mayor orden queocurren en F son de orden n. las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo de función F considerada. En particular tenemos la E.D.P. lineal si F es lineal en la función incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es más general, si F es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden.

 Clasificación.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican según su tipo de orden y linealidad. Se llama solución (o integral) de la E.D.O. a cualquier función = () que introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Tipos de soluciones:   Explicitas: la variable dependiente de y se expresa tan solo en términos de la variable independiente x y constantes. Implícitas: se trata de una relación , = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones elementales. Son soluciones todas las () que cumplen , = 0.

Una E.D.O puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los parámetros. Para las E.D.P. la clasificación es un poco distinta, para sistemas de E.D.P. de segundo orden con dos variables por ejemplo la ecuación diferencial puede ser expresada como: Sea (, ) con x e y variables independientes se llama ecuación con derivadas parciales de segundo orden si , , , , , , = 0 Donde: =


4
2 2

, =



, =

2

, = 2

2

= =

. De manera similar se

sigue para mas variables independientes. Anteriormente dijimos que una ecuación se llama lineal conrespecto a las derivadas de orden mayor si 2 2 2 + 2 + 2 + , , , = 0 2 (5)

donde los coeficientes a,b,c son funciones de las variables independientes que admiten desarrollos en series de Taylor y no se anulan simultáneamente.

5



Si los coeficientes a,b,c dependen no solo de x e y, sino que son al igual que f funciones de , , , , entonces tal ecuación se denomina cuasi lineal. La ecuación se llama lineal, si es lineal tanto respecto a las derivadas de orden mayor, como a la función u y a sus primeras derivadas; es decir: 2 2 2 + 2 + 2 + + + + = 0 2 6

donde , , , , , , son funciones solo de x e y. Si los coeficientes de la ecuación 6 no dependen de e , esta es una ecuación lineal con coeficientes constantes. La ecuación se llama homogénea, si , = 0. Como la ecuación (6) es de segundo orden, siempre es posible reducir los coeficientes de las derivadas de segundo orden a constantes muy simples mediante un cambio de coordenadas definidas por un sistema de ecuaciones de la forma = , = , , ≠0 (, ) 7

Tal que (6) en las nuevas coordenadas es equivalente a una de los siguientes tipos de ecuaciones mas sencillas, llamadas Formas Normales, o bien, formas Canonícas de (6) 1. . 1. . : 2. . 2. . 3. 2 2 − + . . . = 0 2 2 2 + . . . = 0 2 + . . . = 0 2 2 + . . . = 0 2 2 2 − + . . . = 0 2 2

8

De las formas normales identificamos a T.O.I., como los términos de orden inferior al efectuar el cambio de coordenadas (7) en (6) para obtener(8). Con esto entonces podemos decir que la ecuación (6) puede ser de tipo Hiperbólica, Parabólica o Elíptica, si y solo si existe un cambio de coordenadas tal que la ecuación se puede escribir en la forma normal 1.., 2.., o 3., respectivamente.

6



De tal modo que en fenómenos físicos se puede representar a una E.D.P. como 2 2 − = 0 ó 2 2 2 − =0 2

2 2 − = 0 2 2 Estas ecuaciones son ejemplos inmediatos de ecuaciones del tipo Hiperbólica, Parabólica y Elíptica respectivamente.

Métodos de solución importantes para E.D.
 Ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el estudio de sistemas físicos nos vemos envueltos en estudiar la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Las cuales están descritas de forma general como , = , = − , 9

La ecuación (9) claramente es una ecuación diferencial Ordinaria de primer orden, dado que no existen derivadas de orden superior y la función solo tiene como variable independiente a x.

 Separación de variables
Este método es utilizado para resolver ecuaciones del tipo (9). Frecuentemente la ecuación (9) puede ser escrita de la forma = , = − De modo que (10) puede ser rescrita como 10

7



+ = 0 La cual podemos integrando de 0 , 0 a , tenemos que


(11)

+
0 0

= 0

12

Podemos definir los límites inferiores 0 y 0 como constantes, con esto podemos ignorar los límites inferiores de la integración y sólo se tiene que añadiruna constante de integración. Es de suma importancia tener en cuenta que esta técnica de separación de variables no requiere que la ecuación diferencial sea lineal.

 Ecuaciones diferenciales exactas.
La ecuación (9) podemos rescribirla tal que , + , = 0 (13)

Esta ecuación se dice que es exacta si se puede igualar a una diferencial ; es decir: = + 14

Puesto que la ecuación (13) es cero por la derecha, tenemos que buscar una función desconocida , = . y = 0. Tenemos que si existe una función , la siguiente igualdad , + , = entonces tenemos que = , , = , 16 + 15

La condición necesaria y suficiente para que nuestra ecuación sea exacta es que las segundas derivadas parciales mixtas de, , , sean independiente del orden de la diferenciación (esto solo es posible si se cumple que es continua); es decir 2 , , 2 = = = 17
8



si , existe, entonces la solución para la ecuación (13) y (15) será , = 18

Bien podría resultar que la ecuación (13) no sea exacta, si no se cumple con la ecuación (17). Sin embargo, siempre existe al menos uno o tal vez una infinidad de factores de integración, , , tales que , , + , , = 0 (19)

Haga exacta a la E.D. Desafortunadamente, el factor de integración no es siempre obvio y fácil de encontrar. A diferencia del caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, no hay manera sistemática para desarrollar un factor de integración de la ecuación (13). Una ecuación diferencial en elque las variables han sido separadas automáticamente es una E.D. exacta. Caso contrario es que una ecuación diferencial exacta no es necesariamente separable.

 Ecuación Diferencial Lineal de Primer orden.
Si (, ) en la ecuación (9) es de la forma − , entonces la ecuación (9) será + = () 20

La ecuación (20) es la manera más general de escribir una ecuación diferencial linear de primer orden. Si = 0, se dice que es una ecuación homogénea. La ecuación (20) es lineal, ya que cada término de esta es lineal en o existan cosas de orden superior, esto es, 2 , y no productos, linealidad se refiere a y o


. Es decir no

. Tenga en cuenta que la

; () y () no tiene por qué ser lineal en . La ecuación 20,

es una de las más importantes ecuaciones diferenciales de primer orden para la física. Ahora busquemos un factor integrante tal que + = () 21

Lo cual podemos rescribir como = 22
9



Lo anteriormente escrito es para hacer alusión al lado izquierdo de la ecuación (20) y hacer así a este lado de la ecuación derivable de modo que pueda ser integrado. Lo que hace también que la ecuación (20) sea exacta. Expandiendo (22) obtenemos lo siguiente + = () 23

Comparando esto con la ecuación (21) tenemos que esto exige que = () 24

Esta es una ecuación diferencial para , con y las variables separables. Con las variables separables e integrando obtenemos

= exp



(25)

El cuál es nuestro factor de integración. Siconocemos podemos proceder a integrar la ecuación (22). Lo que nos da

() =

()

Ahora integrando obtenemos

=

() +

Donde C contiene a la integral resultante del límite inferior de la integración. Dividiendo por (), obtenemos =
−1

+

Finalmente sustituyendo la ecuación (25) en la anterior tenemos que


= exp −



exp

+

(26)

De esto las variables de integración han sido rescritas para evitar la ambigüedad. La ecuación (26) es la solución general completa de la ecuación diferencial lineal de primer orden. La parte
10




1 = exp −



(27)

Corresponde al caso de la ecuación diferencial homogénea; es decir cuando = 0.y el termino correspondiente a la ecuación (26),


2 = exp −



exp

+

(26)

Es la solución particular correspondiente a la solución general cuando la ecuación diferencial no es homogénea es decir ≠ 0. Es decir, para ecuaciones diferenciales de primer orden lineales la ecuación será homogénea si () en la ecuación (20) es cero, entonces la ecuación es separable. De lo contrario, para el caso donde = ., = ., o = ();es decir, la ecuación no es homogénea, entonces la ecuación (20) no es separable.

 Conversión a la ecuación integral.
Nuestra ecuación diferencial de primer orden descrito en la ecuación (9), puede ser convertida a una ecuación integral por medio de una integración directa lo que nos da

− 0 =

,
0

(27)

Para esta ecuación integral es posibleencontrar una solución en términos de las series de Neumann con una aproximación inicial como () ≈ (0 ). En términos de la teoría de Ecuaciones diferenciales este método es llamado “el método de aproximaciones sucesivas de Picard”.
Ecuación Diferencial de primer orden Ecuación integral

Ecuación Diferencial Lineal

En casos especiales

Método de separación de variables

Cuando las variables sean separables

Método de ecuaciones exactas

Figura 2.- diagrama de cómo se solucionan las ecuaciones diferenciales de primer orden

11



En la figura dos exhibo una descripción de cómo se solucionan las ecuaciones diferenciales de primer orden.

 Métodos de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden.
Sea () una función con x una variable independiente, podemos escribir su ecuación diferencial como en la ecuación (4) , , , = 0 Ahora bien otra manera de representar esta ecuación es del siguiente modo + + = (29) (28)

Donde a,b,c,d son constantes que dependen de x e y del hecho de que sea una función lineal es que llegamos a la ecuación (29). Dos casos importantes para la solución de este problema son cuando ≠ 0 lo cual como ya lo habíamos mencionado, esto es una ecuación diferencial no homogénea, y en el caso en que = 0 esto nos lleva a una ecuación diferencial homogénea. Primero analicemos el caso de una E.D. homogéneas, entonces de la ecuación (29) tenemos que ′′ + ′ + = 0 Donde como ya sabíamos = la ecuación (30) es del modo = (31)
2 2

(30)

= ′′ y == ′ . Una solución general para

Donde k es un parámetro a determinar. Entonces procedemos a estimar la primera y la segunda derivada respecto de x lo cual no resultara en ′ = ′′ = 2 Sustituyendo esto en (30) tenemos que 2 + + = 0 2 + + = 0 (34) (32) (33)

12



2 + + = 0 (35)

A la ecuación (35) se le conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial. Su importancia es que si es una raíz de la ecuación del polinomio anterior, entonces = es una solución a la E.D.O. Ya que tenemos una ecuación cuadrática procedamos a tratar de encontrar su solución, sea esto así entonces utilizando la formula general tenemos que = − ± 2 − 4 2 (36)

Centrémonos en el radical dado que de este podemos tener tres soluciones posibles las cuales son: a) 2 − 4 > 0 tendremos una solución real. b) 2 − 4 < 0 tendremos una solución con coeficientes imaginarios. c) 2 − 4 = 0 lo cual nos da la solución mas sencilla. Los métodos para solucionar la ecuación diferencial, se resolverán entonces por los siguientes métodos: a) Para el primer caso cuando tenemos una solución real distinta de cero la solución de la ecuación diferencial será entonces: 1 = 1 2 = 2 (37)

Por tanto la solución general de la ecuación diferencial será: = 1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 b) Para el segundo caso donde tenemos raíces complejas estas están descritas como: 1 = + Sustituyendo esto en (37) tenemos que 1 = (+) 2 = (−) (38) 2 = −

Recordando un poco el calculo devariables complejas sabemos que existe una ma nera de redefinir la ecuación (38) en términos de la formula de Euler, la cual nos dice que los exponenciales se pueden escribir como: = cos + sin − = cos + sin
13



Entonces sabiendo esto rescribamos cada una de las ecuaciones en (38) 1 = = (cos + sin ) 2 = − = (cos − sin ) Combinando las ecuaciones anteriores tenemos 1 + 2 = 1 cos + sin + 2 cos − sin 1 − 2 = 1 cos + sin − 2 (cos − sin ) Realizando las operaciones anteriores y reorganizando todo llegaremos a la solución general la cual será: = 1 cos + 2 sin c) Para el último caso cuando tenemos que la ecuación característica es igual a cero entonces las raíces serán: 1 = 2 = − 2

Esto es las dos raíces dan la misma solución la cual nos quedara de la siguiente forma: =
− 2

Las constantes seran obtenidas de las condiciones de frontera del problema a resolver.

La solución para las ecuaciones no homogéneas; es decir, las soluciones donde () ≠ 0 se obtienen apartir de encontrar las soluciones a la ecuación homogénea y encontrar una solución particular para (). Existen diferentes tipos de encontrar una solución para esta función, aquí enunciare los mas importantes:

 Método de coeficientes indeterminados.
Este método consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular para (). Esto es muy intuitivo dado que se dejan muchos coeficientes sin especificar. La expresión supuesta se sustituye en la ecuación diferencial y seintenta determinar el coeficiente, de manera que esta ecuación se satisfaga. Si no se encuentra una solución es conveniente cambiar la suposición inicial e intentar de nuevo. Las desventajas de este método es que solo podemos considerar términos homogéneos que consisten de polinomios funciones exponenciales, senos y cosenos.
14



A continuación muestro una tabla donde muestro la forma de una solución particular () de = () es decir cuando la ecuación tiene coeficientes constantes; siendo su polinomio característico () y , , , y polinomios de grado p () = = + a‹¯ + 0 = = cos + sin = = cos + sin () = = + a‹¯ + 0 = = cos + sin = = [ cos + sin ]

 Método de separación de variables.
El método de separación de variables tiene la ventaja (gracias a que es un método general) de que se puede aplicar a cualquier ecuación diferencial y no requiere de suposiciones detalladas con respecto a la forma de la solución. Entonces para la utilización de este método tenemos que rescribir (30) como ′′ + ′ + = Suponiendo una solución particular para esta ecuación de la forma: = −1 2 + 2 1 () (39)

Donde es el Wronskiano de las soluciones 1 e 2 . El Wronskiano se define como: 1 = ′ 1 2 2 ′

Dado que los Métodos de soluciones para ED son muy variados, ya que no solo existen soluciones analíticas, sino que también existen diversos métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas para una ED, continuare con elensayo dando pasos a los ejemplos más importantes en la física, y si se diera el caso explicar el método por el cual encontré la solución.

15




Ejemplos de la Ecuaciones Diferenciales para la solución de sistemas físicos.
En el contexto de la física el uso de Ecuaciones Diferenciales es el pan de cada día, por ejemplo la segunda ley de Newton en su forma de ED es de la siguiente manera: , , = Lo cual por lo anteriormente descrito, nos dice que es una ecuación de segundo orden. A razón de dar ejemplos de cómo son de gran importancia las ED en la física empecemos con algunos ejemplos básicos de su utilización y después procedamos a realizar algunos ejemplos mas específicos. Empecemos suponiendo un campo magnético descrito como = 0 supongamos que una carga eléctrica la cual irrumpe en este campo eléctrico, la manera de encontrar sus ecuaciones de movimiento es de la siguiente forma:

= 0

Fig. 3.- movimiento del campo magnético

De la fuerza de Lorentz tenemos que: = + × Dado que aquí no hay interacción con el campo eléctrico entonces = 0 entonces la ecuación anterior nos queda como: = × (40)

16



Realizando el producto cruz de la velocidad y el campo magnético tenemos que = × = = 0 − 0 0 0 0 Sabemos que la velocidad se escribe como: = Entonces sustituyendo esto en (41) y haciendo un poco de algebra tenemos que = 0 − Sustituyendo esto en (40) y usando la definición de leyes de newton tenemos que: 0 − = + +Por esto tenemos un sistema de tres ED las cuales estarán dadas como = 0 (41)

= −0

= 0

En el apartado tres vemos que la ecuación es igual a cero lo que nos dice que = 0 entonces multipliquemos a 1 y 2 por y rescribamos las ecuaciones como = 0 0

= − Haciendo que 2 =
0

entonces podemos rescribir las ecuaciones anteriores como = 2 = 2 (42) (43)

17



Esto nos da un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas entonces usaremos el apartado 3 para desacoplarlas, por tanto: 2 = 2 = =0 Por tanto = Lo que implica que podemos escribir a como


=
0 0

− 0 = − 0 = 0 + − 0 Donde C es una constante, entonces derivando (43) tenemos que = − 2 = − 2

Sustituyendo esto en (42) obtenemos lo siguiente − = 2 2

= − 4 Esto lo podemos rescribir como = − 4 Lo cual nos queda como: + 4 = 0 (44)

Lo cual nos da una ecuación diferencial de segundo orden donde podemos suponer una solución de la forma: = cos() Donde 2 = 4 . Si obtenemos la primera y la segunda derivada tenemos que:
18



= − sin = − 2 cos Sustituyendo esto en (44) tenemos que + 2 = 0 − 2 cos + 3 cos = 0 La solución para = sin() obtendremos una solución similar, por tanto la solución más general para este problema será: = cos + sin (45)

Entonces (45) nos describe la solución para un oscilador armónico que dadas las condiciones iníciales y de frontera podemos obtener las constantes A y B. Otraaplicación de las Ecuaciones diferenciales en las leyes de Newton es el de obtener todas sus ecuaciones de cinemática a partir de ED, sea () una función dependiente del tiempo y usando la definición de la segunda ley de Newton tenemos que = () Esto se puede rescribir como: 1 = () Lo cual puede ser rescrito como: = 1

Integrando esto desde un punto inicial y uno final tenemos que

=
0

1

()
0

Lo cual nos da = 0 + 1


0

(46)

19



Lo cual cuando conozcamos la función podemos obtener la velocidad del movimiento. Haciendo un análisis igual al anterior pero para la ecuación (46) obtendremos la descripción del movimiento respecto a su posición; es decir haciendo lo siguiente: = Sustituyendo esto en (46) tenemos que: = 0 + 1




0

Integrando lo anterior desde un punto inicial y otro final obtenemos:


=
0 0

1 0 +


0

Lo que nos resultara en: = 0 + 0 − 0 1 +
0


0

(47)

Lo cual si conocemos la función podemos obtener el desplazamiento del movimiento de una partícula. Como ejemplo supongamos = 0 cos lo que describe esta función es el movimiento de un electrón en un campo eléctrico = 0 cos . Entonces sustituyendo esto en (46) tendremos 1 = 0 +
0

0 cos

Suponiendo una posición inicial igual a cero a un tiempo inicial igual a cero entonces la velocidad del electrón será: 1 = 0 +
0=0 0=0

0 cos 0

0 cos = = 0 +

0

La ecuación anterior nos describe la velocidad del electrón aun tiempo t, ahora para ver su desplazamiento haciendo lo mismo en la ecuación (47) tendríamos que
20



= 0 + 0 + 1
0=0

0

= 0 + 0 +

0 cos − 1 2

Lo que nos da el desplazamiento (o posición) del electrón. Es hora de darnos entonces a la tarea de describir ejemplos físicos donde estén implícitas ecuaciones diferenciales y encontremos una solución a la ecuación diferencial dado condiciones iníciales y de frontera que considere pertinentes para el problema.

 Oscilador armónico Simple
El ejemplo típico es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.

Fig. 4.- descripción del movimiento de un osciladorarmónico simple

21



Comencemos entonces nuestro análisis, para esto empecemos por describir el movimiento en términos de la ecuación de newton y la ley de Hooke lo cual nos dará la siguiente relación: − = Entonces obtendremos la siguiente ecuación diferencial: + Haciendo a


= 0

= 2 tendremos + 2 = 0

Como anteriormente describimos esta es una ED homogénea, mas aun sabemos que la solución a esta ecuación esta descrita por: = cos + sin Podemos rescribir (48) de la siguiente manera: = cos + O bien = cos cos + sin sin (49) (48)

Comparando (48) y (49) encontramos que A,B,R, están relacionadas por las ecuaciones: = cos() , Por lo tanto = 2 + 2 , tan = sin

De esto entonces sabemos que como en la figura 4 la grafica que describe un movimiento cosenoidal desplazado podemos obtener el periodo de oscilación el cual sabemos que esta dado por: 2 = = 2
1 2

22




 Oscilador armónico amortiguado
Una de las variaciones más importantes del oscilador amónico, es el caso del oscilador armónico amortiguado. Se diferencia del oscilador armónico estándar, en que además de la fuerza del resorte existe también una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad. Este seria el caso, por ejemplo, si la masa conectada al resorte en la figura 4 estuviera moviéndose en un medio viscoso. serian el aire o un fluido. Ejemplos de medios viscosos

Fig. 5.- descripción del movimiento de un oscilador armónicoamortiguado.

En la figura 5 tenemos la descripción de un oscilador armónico amortiguado donde el medio viscoso es un fluido. Entonces la ecuación que describe este movimiento será:
= − − (50)

Donde b es el coeficiente de rozamiento, rescribiendo (50) de manera similar que en la ecuación del movimiento armónico simple tenemos que + + = 0

Podemos rescribir esto utilizando el método del polinomio característico lo cual seria 2 + + = 0

Donde las raíces de este serán dadas por la ecuación general de binomios cuadrados el cual sustituyendo los valores correspondientes obtendremos lo siguiente : − ± 2
2

=

−4



=−

± 2

2

2

−



23



Donde el radical nos dará la descripción del movimiento dado que 
2

<

tendremos la descripción del movimiento infra-amortiguado

Haciendo las siguientes sustituciones: 0 = , = , 2 1 =
2 0 − 2

Entonces podemos rescribir la solución para la ecuación característica como: 1,2 = − ± 1 Entonces la solución más general de la forma: = 1 − + 1 + 2 − − 1 Haciendo que 1 = , y 2 = − y como lo mencionamos antes de la
2 2 1 1

formulación de Euler tenemos que: = − cos 1 + Obtengamos la primera derivada de la ecuación anterior = − − 1 − sin 1 + Evaluando la anterior para = 0 tenemos que = 0 = cos = 0 = − = 0 − 1 sin Entonces obtenemos lo siguiente = ( = 0) , cos tan = = 0 + − = 0 . 1 ( = 0)

La solución en este caso decrece exponencialmente con el tiempo, comoresultado de la fuerza de amortiguamiento y la amplitud de las oscilaciones varía entre ± − .

Fig. 6.- descripción del movimiento de un oscilador armónico infra-amortiguado.

24



La figura 6 muestra el ejemplo del comportamiento del oscilador armónico infraamortiguado. 
2

>



tendremos la descripción de un movimiento armónico sobre

amortiguado. En este caso, las dos raíces son reales y diferentes por lo tanto de ± 2 2
2

= −

−



(51)

Haciendo ahora las siguientes igualdades: 2 = , 2 2 0 = .

Entonces podemos rescribir la ecuación (51) como:
2 = − ± 2 − 0

Entonces sus raíces serán:
2 1 = − − 2 − 0

2 = − +

2 2 − 0

Entonces dadas estas raíces tenemos que la solución general será entonces: = 1 = 1
2 + 2 − 0

+ 2

2 − 2 − 0

2 2 − 0

+ 2

2 − 2 − 0

−

Si consideramos las siguientes condiciones iníciales: a 0 = 0, = 0 = 0 ; para utilizar esto entonces derivemos la solución anterior lo cual nos dará:
2 = 1 2 − 0
2 2 − 0

2 − 2 2 − 0

2 − 2 − 0

− −

25



Sustituyendo las condiciones iníciales tenemos que para 0 = 1 + 2 = 0 Entonces 1 = −2 Usando esto y sustituyendo el valor inicial para tenemos que
2 2 = 1 2 − 0 − 2 2 − 0 − = 0

−2 2

2 2 2 − 0 + 2 − 0

− = 0

2 2 2 − 0 + 2 − 0 = 0

2 =

0
2 2 2 − 0

Entonces la solución general quedara como = − 0 2 2 0 2 −
2 0

−

2 0

2 2 − 0

+

0 2 2 −
20

2 − 2 − 0

−

=

−

−

2 2 − 0

+ 2

2 − 2 − 0

(51)

Usando la definición de senes hiperbólicos tenemos que − − = sinh 2 Usando esto en (51) tenemos que = 0 2 −
2 0

− sinh

2 2 − 0

26



0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

2

4

6

8

10

12

Fig.7 .- descripción del movimiento de un oscilador armónico sobre-amortiguado.



2

=



este caso nos describe un amortiguamiento critico

En este caso las raíces son reales e idénticas entonces la ecuación característica estará dada como = − Entonces la solución e la ecuación del oscilador amortiguado estará dada por = 1 + 2 − Si consideramos las siguientes condiciones iníciales: a 0 = 0, = 0 = 0 ; para utilizar esto entonces derivemos la solución anterior lo cual nos dará: 0 = 1 = 0 = − 1 + 2 + 2 − = 0 0 = −2 = 0 Entonces la solución quedaría como = −0 −

27



1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig.8 .- descripción del movimiento de un oscilador armónico amortiguamiento critico

 Oscilador armónico Forzado
Otra variación interesante del oscilador amónico es el llamado oscilador forzado, este se trata de un oscilador amortiguado normal sobre el que, además se le aplica una fuerza externa periódica, la ecuación que describirá entonces este tipo de movimiento será: = − − + (52)

Donde () es la fuerza externa que se le aplica al oscilador. Ahora supongamos queesta fuerza esta dada por: = 0 cos() Entonces si multiplicamos por el inverso de m y sustituimos el valor de la función la nueva ecuación nos quedara: + 1 + = 0 cos (53)

Dado que esta ecuación ya no es homogénea entonces primero se tiene que encontrar una solución para la ecuación homogénea y después otra solución para el caso particular. Comencemos con la solución a la ecuación particular, para esto tendremos que suponer que dicha solución tiene una determinada forma general, que depende de algún parámetro desconocido, y ajustaremos ese para que sea compatible con la ecuación diferencial. Por tanto digamos que dicha solución sea: = + sin + (54)

Ya que es de esperar que, que bajo una fuerza periódica, el oscilador se mueva oscilando periódicamente con la misma frecuencia y la misma fuerza. Los parámetros a ajustar para que se cumpla la ecuación (53) son entonces, b, c y .

28



Entonces obtengamos la primera y la segunda derivada de (54) = cos + = − 2 sin + Sustituyendo (55) y (56) en (53) pero tomando en cuenta en (53) que = 0 =
0 2 2 , 0 =

55 56


y

entonces rescribiendo (53) con estas modificaciones y sustituyendo (55) y (56)

tenemos que:
2 2 − 2 sin + + 2 cos + + 0 0 + sin +

= 0 cos

Ahora, sacando factor común separadamente a los senos y cosenos, sabiendo que sin ± = sin cos ± sin cos cos ± = cos cos aˆ“ sin sin Entonces
2 cos − 2 − 0 sin + 2 cos − 0 2 2 + sin() − 2 − 0 cos + 2 sin = −0

Suponiendoahora que b=0 entonces tenemos que: cos
2 − 2 − 0 sin + 2 cos − 0 2 + sin − 2 − 0 cos + 2 sin

=0

Y ahora, tenemos que elegir c y para que se anule también la parte izquierda. Tras varios cálculos algebraicos llegamos a que:
2 2 − 0 tan() = 2

=

0
2 2 − 0 2

+ 4 2 2

Entonces la solución particular tendrá la forma: = 0
2 2 − 0 2

+ 4 2 2

sin +

Entonces la solución general para la ecuación (53) estará dada por = () + 0
2 2 − 0 2

+ 4 2 2

sin +

29




 Problemas donde intervienen péndulos físicos.
Otro de los problemas fiscos donde intervienen ED son los problemas de los péndulos, como ejemplo veamos un péndulo físico simple:

m

Fig.9 .- péndulo físico

En la figura 9 se describe el movimiento de un péndulo físico donde la cuerda es de longitud y el objeto es de masa . Usando la mecánica de Lagrange tenemos que la energía cinética del péndulo esta descrita por: 1 1 2 + 2 2 2 Y la energía potencial dada por: cos Entonces la ecuación de Lagrange está dada como: = − Sustituyendo (57) y (58) en la ecuación de Lagrange tenemos que = 1 1 2 + 2 − cos 2 2 (58) (57)

Ahora por la geometría del problema sabemos que = sin() = cos

30




Sustituyendo esto en (57) y rescribiendo la ecuación de Lagrange tenemos que: = 1 2 2 − cos 2

Para encontrar la ecuación de movimiento de este problema tenemos que introducir esta Lagrangiana en la ecuación de Euler-Lagrange lacual está dada por: − Donde es la derivada respecto al tiempo de la coordenada utilizando esto y sustituyendo la Lagrangiana tenemos que: − = 2 + sin = 0 Entonces la ecuación de movimiento es tara dada por: + Entonces si


sin =0

= 2 entonces + 2 sin = 0

Si suponemos pequeñas oscilaciones tenemos que 1 sin = − 2 + a‹¯ 2 Entonces la ecuación de movimiento quedara como + 2 = 0 Esta solución ya es conocida por nosotros y describe un movimiento armónico simple: del cual ya conocemos su solución la cual es: = cos + sin Donde su periodo de oscilación estará dado como = 2
31




Fig.11 .- péndulo Móvil

La figura 11 en un resorte que oscilara sobre el eje z y el péndulo seguirá el movimiento de un péndulo simple, la ecuación esta regida por los siguientes parámetros = sin = − − cos Donde sus derivadas respecto al tiempo serán: = cos = − − sin Entonces la ecuación Lagrangiana en termino de sus energías cinéticas y potenciales quedara de la siguiente manera: = 1 1 1 2 + 2 − 2 sin + 2 2 − − 0 2 2 2
2

+

Donde l es la longitud de la varilla que une a la masa con la polea y 0 la elongación adicional después de que el resorte se estira. Siendo esto así la ecuación de Lagrange se puede rescribir como 1 1 2 = 2 + sin + 2 2 − 2 − 20 + 0 + 2 2 Entonces usando la definición de la ecuación de Euler-Lagrange para z y las ecuaciones de movimiento quedaran como: = − sin , = − sin + 2 , = − − 0 − = − sin
32

Definamos lo siguiente = − 0 −

Entonces las ecuaciones de movimiento quedaran como − sin − 2 cos + − sin + = 0 Tratando de encontrar soluciones para este sistema de ecuaciones no puede encontrar alguna referencia que me ayudara, así que dejare este problema abierto para que el profesor me pudiera orientar en su resolución. = 0

 Ecuaciones diferenciales parciales en la física.
Las EDP son de gran importancia en la fisca dado que gracias a ellas podemos modelar un sinfín de problemas físicos. El método más usado para resolver este tipo de ecuaciones estilizando la técnica de separación de variables, lo cual explicare a continuación. El método de separación de variables supone que la solución al problema consiste en la multiplicación de funciones de una sola variable. Es decir, si suponemos una ecuación diferencial dada por: + + = , , Podemos suponer una solución del tipo , , = La cual vuelve a la ecuación (59) fácil de resolver dado que encontraremos un conjunto de soluciones lineales para , , .
Ahora procederé a poner ejemplos de problemas físicos donde intervengan EDP, empleare el método de separación de variables para obtener la solución del sistema de ecuaciones.

(59)

33




Ecuaciones de Transporte
 Ecuación de Fick en una dimensión espacial.
La ecuación que rige este movimiento es la ecuación de transporte para una dimensión. La cual está dada por:

2 = Para una dimensión tenemos que 2 =

11

Sonde D es el coeficiente de difusión de masa y C la concentración. Entonces usando la definición de separación de variables descrita anteriormente tenemos que , = El Laplaciano para una dimensión esta descrito como 2 2 Para una dimensión entonces remplazando esto por la C de la separación de variables tendremos que 2 1 = 2 Dado que () solo depende de la variable x y () solo depende del tiempo entonces tenemos que: 2 = 2

Multiplicando ambas partes de la ecuación anterior por 1

34



Entonces tendremos que 1 2 1 = 2 Entonces realicemos el siguiente reordenamiento 1 1 2 2 = − = 2 Entonces podemos reordenar esto y conseguir dos ecuaciones diferenciales las cuales serán 1 = −2 1 2 = −2 2 Entonces la forma de resolver la primer ecuación es de tal forma que 1 = −2 = −2 = −2
2

= 0 − La segunda ecuación entonces quedaría como

2 + 2 = 0 2 Este es un problema de oscilación simple entonces como ya lo hemos visto es que tendrá una solución como: = cos() + sin() Considerando las condiciones de contorno tendremos que
=0

= 0 =

= .

Teniendo esto en cuenta

0 = cos(0) + sin(0) = = 0

35



Para la segunda condición tendremos que = sin() = 0

Dado que ≠ 0 entonces solo nos queda que sin() = 0 por tanto sabemos que = = Por tanto la solución de la parte X será = sin( )

Entonces juntado la solución de T y X tendremos que ,= 0 −
2

sin(

)

Entonces haciendo las sustituciones convenientes tenemos que = 0 Y que 2 =
0

sin

Entonces la solución completa normalizada a = 0 sera
∞

, = 0 = () =
=1

−

2

sin(

)

 Ejemplo 1 Transporte de Temperatura
Hallar la temperatura de un paralelepípedo que está comprendido entre 0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤ ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 3 si su temperatura inicial es una función arbitraria de x, y, z, y la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero.

36



Primero sabemos que la ecuación de calor está dada por

2 =

1 2

(60)

Donde c es el coeficiente de difusividad térmica. Entonces utilicemos el método de separación de variables sea entonces , , , = Ahora bien el Laplaciano en coordenadas rectangulares esta descrito como 2 = 2 + 2 + 2 (61)

Sustituyendo (61) en (60) tendremos que el Laplaciano quedara como 2 2 2 1 + + = 2 2 2 2 Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por parciales por totales tendremos que 1 2 1 2 1 2 1 + + = 2 2 2 2 Entonces podemos hacer las siguientes sustituciones e igualdades 1 2 1 1 2 1 2 = −2 = 2 − − 2 2 2 1 2 1 1 2 2 = − = 2 − + 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 = − = 2 + + 1 = −Ω2 = 2 + 2 + 2 2 Entonces las ecuaciones diferenciales a resolver serán 2 + 2 = 0 2 2 + 2 = 0 2 (62) (63)
1

para cambiar las diferenciales

37



2 + 2 = 0 2 1 = −Ω2 2 (64) (65)

Lamanera de resolver (62), (63), (64) describen la ecuación de un oscilador armónico, del cual ya conocemos que se encuentran sus soluciones y (64) se soluciona por medio de integración las condiciones de frontera para estos problemas son tales que 0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤ ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 3 , =0 = = 1 = 0, =0 = = 2 = 0, =0 = = 3 = 0, 0 < < ∞ y también que =0 = , , , de esto entonces, la solución para (62) será 2 + 2 = 0 2 = cos() + sin 0 = cos(0) + sin 0 = = 0 1 = sin 1 = 0 Dado que B no puede ser cero entonces solo nos queda que sin 1 = 0 por tanto solo nos queda que 1 = = Quedando entonces la solución de () como = sin 1 1

De manera similar obtenemos soluciones para las ecuaciones (63) y (64) las cuales nos darán = sin = ñ sin Ahora encontremos la solución para (65) la cual será 1 = −Ω2 2 2 ñ 3

38



= −Ω2 2 = −Ω2 2

ln = −Ω2 2 = 0 −Ω
2 2

Entonces la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales en términos de las soluciones (), (), (), () tendremos que , , , = ñ0 −Ω
2 2

sin

ñ sin sin 1 2 3

Rescribiendo . .ñ = ñ 0 entonces la solución se escribirá como , , , = , ,ñ −Ω
2 2

sin

ñ sin sin 1 2 3

Entonces sabiendo que normalizando a , ,ñ cuando = 0 entonces , ,ñ = 8 1 2 3
1 0

2 0

3 0

, , sin

ñ sin sin 1 2 3

Quedando entonces la solución como
∞

, , , =
, ,ñ=1

, ,ñ

− 2

2 2 ñ2 2 + + 1 2 3

sin

ñ sin sin 1 2 3

 Ejemplo 2Transporte de Temperatura
Hallar la temperatura de un sector cilíndrico infinito 1 ≤ ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 0 si las superficies = 1 = 2 intercambian calor por convención con un medio de temperatura cero, las caras = 0 y = 0 , están aislados térmicamente y su temperatura inicial es
=0

= , , 1 < < 2 , 0 < < 0

39



La ecuación de transporte para este problema estará descrita como 2 1 1 2 2 = + + 2 2 2 Entonces usemos el ya conocido método de separación de variables declarando que , , = Φ () Entonces nuestra ecuación de transporte quedara como Φ 2 Φ 1 Φ 1 2 Φ = 2 + + 2 2 2 Multiplicando ambos miembros de la ecuación por ecuaciones parciales por ecuaciones totales tendremos que 1 1 2 1 1 2 Φ 2 = + + 2 Φ 2 2 1 2 1 1 2 Φ 1 + + = −2 = 2 2 2 2 Φ Entonces podemos proceder a solucionar la ecuación de la parte temporal como ya se a solucionado así que 1 = −2 2 = −2 2 = −2 2
2 2

1 Φ ()

para convertir las

ln = −

Entonces ocupémonos de las ecuaciones restantes las cuales serán 1 2 1 1 2 Φ + + = −2 2 Φ 2 2

40



Multiplicando por 2 en ambos lados de la ecuación y agregando otra constante de separación entonces tendremos 2
2

1 2 1 1 Φ + + = −2 2 Φ 2

1 2 1 1 2 Φ 2 2 + + = −Ω = 2 Φ 2 2

La ecuación angular ya es conocida por nosotros dado que es la solución para un oscilador entonces la solución para esta ED será 2 Φ + Ω2 Φ = 0 2 Donde comoya sabemos la solución para esta ED es de la forma Φ φ = cos Ω + sin Ω Las condiciones de frontera para este problema son =
=0



=0
= 0

Entonces la primer derivada de Φ y usando las condiciones de frontera tenemos que Φ φ = −Ω sin Ω + cos Ω Φ 0 = −Ω sin Ω0 + Ω cos Ω0 = Ω = 0 Φ 0 = −Ω sin Ω0 = 0 Dado que A no puede ser cero entonces lo único que puede ser cero es el sin 0 entonces Ω0 = Ω= Entonces la solución quedara como Φ φ = cos 0 0

Ahora solo nos quedara resolver la solución radial, la cual quedara como
41



2 1 2 1 + + 2 = −Ω2 2

Hagamos las siguientes sustituciones y operaciones algebraicas 1 2 1 Ω2 2 = + + 2 2 Ω2 = − 2
2

2 = 2 = = Derivando r tendremos que = = También tenemos que 2 = 2 Por tanto 2 = = 2 2 Entonces 2 2 = 2
2





Utilizando esto y multiplicando ambos lados de la ecuación radial por realizando esto obtendremos 2 2 ′ + ′′ + − 2 = 0 2 2

entonces

42



1 2 ′′ + ′ + 1 − 2 = 0 Lo cual nos conduce a la función de Bessel de primer orden donde la solución general está dada por = + Donde so funciones de Bessel y son funciones de Neumann entonces dadas las condiciones de frontera son − 1 = + 2 =0

=1

=2

Entonces la solución estará dada como = = ′ 1 − 1 ′ 1
0 0

1 −
0 ()

− ′ 1 − 1 1
0 0

()

()


0

Entonces la solución normalizada para esta ecuación estará dada por
∞

,, =
,=0

, −

2 2

cos

0

 Ejemplo 3 Transporte de Temperatura
Hallar la temperatura de una esfera de radio 0 , cuya superficie se mantiene a temperatura nula, si en el instante inicial la temperatura de la esfera era
=0

= ,

0 ≤ < 0

La ecuación de conductividad térmica, en virtud de la simetría radial, se escribe 2 2 = 2 + 2 entonces la solución a este problema viene de responder el siguiente par de ecuaciones diferenciales = − 2 2
43



1 2′ + 2 ′′ + 2 = 0 2 Entonces como ya lo sabemos la solución a la ecuación temporal está dada como = −
2 2

La solución a la ecuación radial estará dada haciendo la siguiente simplificación 2 ′′ + ′ + 2 = 0 ′′ + 2′ + 2 = 0 Las condiciones de frontera imponen que 0 = 0 = 0. El problema para R se reduce a un desarrollo por series de Fourier. Entonces haciendo los siguientes cambios de variables tenemos que = Obtendremos que ′′ + ′ = 0, 0 = 0 = 0 Entonces tendremos que = 2 2 , a„• Entonces la solución para S quedara como = sin() Por tanto esto a la solución para R tenemos que = sin 0

Entonces la solución general a la ecuación será:
∞

, =
=1

sin

0

Donde = 2 0
0 0

sin

0
44




 Ejemplo 4 Transporte de Temperatura
Se tiene un disco plano conductor de calor con un radio de b, y su temperatura es , , 0 =
0

sin para el tiempo > 0, la frontera del disco disipa calor al ambiente

que semantiene a 0s. La ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas estará dada como 2 1 1 = 2 + + 2 Utilizando el método de separación de variables tenemos que , , = Θ Por lo usado anteriormente esto se reduce a la separación de las ecuaciones temporales, radial, y angular entonces el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver estará dado como 2 Θ 1 Θ 1 2 Θ + + 2 2 2 = −2 2 La primera ecuación todavía la podemos reducir un poco mas entonces obtendremos las siguientes ecuaciones 1 2 1 2 + − 2 = − 2 2 Θ′′ + 2 Θ = 0 Entonces las soluciones adquieren la forma , = + Θ , = sin + cos = −
2 2

+ 2 Θ = 0

Donde 2 = 2 + 2 , ahora apliquemos las condiciones de frontera. Entonces la solución del problema de manera general es
45



∞ ∞

, , =
=1 =0

− sin + cos ,

2

Ecuaciones de onda

 Ejemplo 1 ecuación de onda para una cuerda vibrante con los extremos fijos

Supongamos el problema de una cuerda vibrante de longitud l con extremos fijos donde las condiciones de frontera para el problema están dados como , 0 = , , 0 =
=0

=

=

=0

Entonces la ecuación de onda esta descrita por la siguiente ED 2 2 = 2 2 2 Entonces usando el método de separación de variables tenemos que , = Sustituyendo esto en la ecuación de onda tenemos que nuestro sistema de ecuaciones quedara como 1 2 1 2 = = − 2 2 2 2 Entonces las soluciones a resolver tendrán la forma ′′ + 2 = 0 ′′ + 2 2 =0 Ahora procedamos a resolver estas ecuaciones: Para dada las condiciones iníciales
=0

=

=

= 0 tendremos que

′′ + 2 = 0 = cos() + sin 0 = cos(0) + sin 0 = = 0
46



= sin = 0 = =

Quedando entonces la solución para como = sin

Ahora analicemos la solución para la parte temporal. ′′ + 2 2 = 0 = cos + sin Sustituyendo el valor que ya conocemos para tenemos que = cos Entonces la solución quedara como
∞

+ sin

, =
=1

cos

+ sin

sin

, a„•

Ahora utilicemos las condiciones iníciales , 0 = , , 0 = para resolver las constantes ,
∞

, 0 =
=1

sin

= → =

0

2 sin , a„•

Suponiendo que la serie se puede derivar termino a termino obtendremos que
∞

, 0 =
=1

2 sin = → =

cos
0

, a„•

Pues



son los coeficientes del desarrollo de g en senos.

47




 Ejemplo 2 ecuación de onda para resolver las vibraciones entre dos superficies esféricas
Para este problema tendremos que la ecuación de onda y las condiciones iníciales y de frontera tendrán la forma 2 2 2 = + , 1 ≤ ≤ 2, a„ 2 2
=1

=

=2

=0

, 0 = , , 0 = Entonces usando el método de separación de variables tenemos que , = Sustituyendo esto en la ecuación de onda tenemos que nuestro sistema de ecuaciones quedara como 2 ′′ + ′ ′′ = = − Entonces las soluciones a resolver tendrán la forma ′′ +2 ′ + = 0 ′′ + = 0 Las condiciones de frontera imponen que 1 = 2 = 0. El problema para R se reduce a un desarrollo por series de Fourier. Entonces haciendo los siguientes cambios de variables tenemos que = Obtendremos que ′′ + ′ = 0, 1 = 2 = 0 Ahora bien, haciendo = + 1 ′′ + ′ = 0, 0 = 1 = 0

48



Entonces tendremos que = 2 2 , a„• Entonces la solución para S quedara como = sin() Por tanto esto a la solución para R tenemos que = sin()

Para estos valores de las soluciones para la parte temporal son = cos() + sin() Entonces la solución quedara como
∞

, =
=1

cos + sin

sin

Las condiciones iníciales entonces nos imponen que:
∞

, 0 =
=1 ∞

sin = , a„• sin = , a„•

, 0 =
=1

Para hallar los coeficientes del desarrollo de una función en las auto funciones (), utilicemos el problema de Sturm-Liouville: 2′ ′ + 2 = 0 Como
2

, = Y
2

2

1

sin2 1 = 2 2

, =

2

1

sin 1 = 2

49



Entonces podemos concluir que
2

= 2 2 = 

sin
1 2

sin
1

Ejemplo 3 ecuación de onda en tres dimensiones
2 2 2 2 = 2 + + , 2 2 2 2
, , a„3 , a„

Sea el problema de valores iníciales para las ondas en 3 dimensiones espaciales

Dadas las condiciones iníciales , , , 0 = , , , , , , 0 = , , De la formula se puede deducir de manera análoga a la formula de D’Alembert para = 1. Si aceptamos el hecho que, si 3 y 2, esasolución viene dada por la formula de Poisson o de Kirchoff la cual viene dada por , , , =

1 4 2

+

1 4 2

(66)

Donde es la superficie de la bola de centro , , y radio (figura 12).

, ,



Fig.12.- representación de una ecuación de onda en 3 dimensiones

Utilizando la simetría de la figura 12 para coordenadas esféricas, entonces podemos parametrizar esta superficie mediante los ángulos y introduciendo esto en la ecuación (66) tenemos que

50



, , , =

4

2 0

+ sin cos , + sin sin ,
0

+ cos sin 2 + + sin cos , + sin sin , 4 0 0 + cos sin 

Ejemplo 4 ecuación de onda en dos dimensiones
2 2 2 2 = + , 2 2 2
, a„2 , a„

Sea el problema de valores iníciales para las ondas en 3 dimensiones espaciales

Dadas las condiciones iníciales , , 0 = , , , , 0 = , Al igual que en el ejemplo anterior este tiene una solución como , , =

1 2

,

2 2

− −

2

− −

2

+

, 2 2 − −
2

− −

2

Donde todo el circulo de centro , y radio . Nota: tanto el ejemplo 3 y el ejemplo 4 se pueden prestar para el cambio de coordenadas haciendo las sustituciones pertinentes. La manera de interpretar la ecuación (66) los valores de u solo dependen de los y sobre el borde de la esfera , , , . Si para = 0 hay una perturbación concentrada en un punto P del espacio, en otro solo están perturbados los puntos de la superficie esférica de centro P y radio , pues para losdemás puntos es = = 0 sobre la superficie C.

51




Ecuación de Helmholtz
La ecuación de Helmholtz esta descrita por 2 + 2 =


Ejemplo 1. Ecuación coordenadas esféricas.

de

Helmholtz

en

Resolvamos la ecuación homogénea de Helmholtz en coordenadas esféricas. Usemos el método de separación de variables. Entonces siendo esto así tenemos que 2 + 2 = 0 Primero tenemos que declarar la una función de separación de variables la cual será , , = Θ Φ La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas está dada por 2 = 1 2 1 1 2 + 2 sin + 2 2 sin sin 2

Sustituyendo esto en la ecuación de Helmholtz tenemos que 1 2 1 Θ 1 2 Φ + 2 sin + + 2 = 0 2 Θ sin Φ 2 sin 2 Para separar las variables, primero multiplicamos toda la ecuación por 2 sin2 y separamos la ecuaciónΦ. Se obtiene entonces sin2 2 sin Θ 1 2 Φ + sin + + 2 sin2 2 = − 2 Θ Φ 2 2 Φ + 2 Φ = 0 2

52



Entonces llegamos a que Φ s como ya la sabemos la ecuación de oscilador. Ahora separamos las ecuaciones de Θ y multipliquemos ambos lados de la ecuación por entonces obtendremos que 1 sin2 sin2 2 sin Θ + sin + 2 sin2 2 = − 2 Θ
1 sin 2

1 2 1 Θ 2 2 2 = − + sin + 2 = ( + 1) Θ sin sin

Donde por conveniencia nombraremos a la constante de separación por + 1 . Entonces las ecuaciones para cada variable nos quedaran 2 + 2 2 − + 1 = 0 1 Θ 2 sin + Θ + 1 + 2 sin sin =0

Realicemosel siguiente cambio de variable en la primera ecuación = Y en la segunda ecuación = cos Desarrollemos la ecuación radial y veamos a donde llegamos 2 + 2 2 − + 1 = 0 2′ + 2 ′′ + 2 2 − + 1 = 0 +
2 ′′ ′



1 − + 2
2 2

2

= 0

53



La cual es la ecuación de Bessel. Ahora hagamos lo mismo pata la ecuación de Θ 1 Θ 2 sin + Θ + 1 + 2 sin sin =0

1 2 ′ + sin Θ′′ + Θ + 1 + cos Θ sin sin2 1 − 2 Θ′′ − 2xΘ′ + Θ + 1 + 2 sin2 =0

=0

Esta ecuación es la ecuación de Legendre. Sabiendo esto de la ecuación radial, angular y acimutal entonces la solución general será: , , =
,

+1
2

cos ±

Donde dadas las condiciones de frontera de la ecuación podremos escribir los polinomios.


Ejemplo 2. Ecuación de Helmholtz en una dimensión

Sea una partícula en una dimensión, restringida a moverse a lo largo de una circunferencia. Donde la partícula está restringida a moverse en el área 2. El problema puede estar descrito por la ecuación de Schrödinger en una dimensión, entonces supongamos que no existe fuerza sobre la partícula, podemos considerar que V=0. Entonces si la partícula se encuentra en el punto o + 2, no debería cambiar ninguna propiedad física. Esta situación física se traduce a una condición de periodicidad sobre la función de onda para la cual imponemos que

Φ = Φ + 2

A las funciones que satisfacen esta condición a veces se les llama funciones univaluadas, ya que esta condición implica que la función de onda Φvale lo mismo para el punto y todo los puntos que difieren de en un múltiplo entero de 2.

54



Matemáticamente tenemos entonces que la partícula queda descrita por la función de onda Φ que satisface la ecuación de Schrödinger, entonces tenemos que a„ 2 Φ − = Φ 2 2 Escribamos la ecuación de Schrödinger en términos de la variable en vez de la variable x, obtenemos que − Donde Φ + 2 Entonces podemos reescribir la ecuación de Schrödinger como Φ ′′ + 2 2 2 2 Φ , λ = a„2 a„2 a„ 2 Φ 2

La solución general para esta ecuación estará dada por Φ =

Utilizando las condiciones de frontera las cuales son Φ + 2 Tenemos que
+2

= =1

2

= a„€ Entonces las funciones de onda y los valores de energía son Φ = , 2 a„2 = , a„€ 2 2

55



Esto nos lleva entonces a que la solución mas general de la partícula en un circulo estará dado por
∞

Φ =
−∞





Ejemplo 3. Ecuación de Helmholtz en dos dimensión

En coordenadas rectangulares la ecuación de Helmholtz quedara como ∂2 Ψ x, y ∂2 Ψ x, y + + 2 Ψ x, y = 0 ∂x 2 ∂y 2 Por separación de variables tenemos que Ψ x, y = X x Y y Entonces como antes ya lo hemos hecho la ecuación tendrá la forma 1 2 1 2 + + 2 = 0 2 2 Entonces poniendo las constantes como ya se ha hecho tenemos que 2 2 + 1 = 0 2 2 2 + 2 − 1 = 0 2 Si definimos en la segunda ecuación la siguiente igualdad
2 2 2 = 2 − 1

Entonces como ya sabemos lasecuaciones las soluciones a este par de ED son = 1 = 2

56



Ya que llegamos a esto la solución general a la ecuación de Helmholtz estará dada por , =
1 2

1 , 2 1 2 1 2

Ahora supongamos que tratamos de encontrar la forma de la función armónica , en el interior de la región rectangular 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ , sujeta a las condiciones de frontera , 0 = , = 0, 0 < < 0, = , = 0, 0 < < De aquí podemos ver que la condición restante no cambia para , = (). Ahora 2 2 podemos ver que la condición 1 + 2 = 0, entonces podemos ver que 1 y 2 no pueden ser ambos números reales, ya que la única posibilidad de satisfacer la ecuación, seria que ambos fueran cero. Entonces dado que la parte de X está sujeta a condiciones de Dirichlet 2 tiene soluciones solo si 1 es un número real, por lo tanto = sin , 1 =

2 2 Dado que 1 = −2 podemos rescribir la ecuación para y como

2 2 2 − 2 = 0 2 Utilizando las condiciones de frontera tenemos que = (). Entonces la solución quedara como = 1 sinh + 2 cosh

Para satisfacer las condiciones de frontera tenemos que = 1 sinh

Entonces la solución armónica para , quedara como
∞

, =
=1

sin

sinh

57



Entonces dada la condición de frontera que no hemos empleado tenemos que
∞

, = =
=1

sin

sinh

Ya sabemos que esto es una expresión de una serie de Fourier en una dimensión entonces obtendremos que
0

sin = =

∞

=1 ∞sinh sinh

sin
0

sin

=1

. = sinh 2 2

Despejando el coeficiente obtendremos que = 2 sinh

() sin
0

sin sinh

En el caso particular en que la función = con = , obtenemos

sin
0

= − cos =− −1

0

=−

cos − 1

0 − 1 = 2

Por lo cual, la función armónica será
∞

, =

4

=+1 sinh



sin

sinh



Ejemplo 4. Ecuación de Helmholtz en dos dimensión

Consideremos ahora el problema de un aro circular metálico de radio a, dividido en dos semicircunferencias aisladas entre sí. Las mitades del aro se mantienen a un potencial + y – respectivamente.

58



Lo que tenemos que hacer entonces es calcular el campo eléctrico en la región interior del aro. Entonces lo que tenemos que hacer es calcular el potencial electroestático el cual debe satisfacer la ecuación de Laplace Entonces la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es 1 1 2 + 2 =0 2 Entonces las condiciones de frontera para el potencial son , = + 0 < < − − < < 0

Entonces procedamos a la ya conocida separación de variables , = Ρ Φ Las ecuaciones de Helmholtz con la condición de que 2 = 0, nos dará el siguiente sistemas de ecuaciones. 2 Φ + 2 Φ = 0 2 + 2 = 0

La solución para la coordenada Φ es
∞

Φ = 0 +
m=1

+

La ecuación racial entonces quedara como 1 2 ′′ + ′ − 2 = 0 Entonces esta ecuación se conoce como la ecuación de Euler y sus soluciones son == . log , = 0 − , > 0

Así las soluciones a la ecuación de Laplace quedaran como Φ0 0 = 0 0 log = 0
59



Donde 0 y 0 son constantes, mientras que en el caso > 0, las soluciones son de la forma Φm = cos , sin − cos , − sin

De aquí podemos eliminar varias soluciones dado el campo eléctrico se obtiene a través de un gradiente, es decir = , lo que se define como el potencial electroestático el cual esta definido en = 0. Entonces las soluciones − y log no son admisibles. Por tanto la solución quedara como
∞

, = 0 +
m=1

+

Entonces las utilizando las ecuaciones de frontera tenemos que
∞

= , = 0 +
m=1

+

Esto es la función escalón de Fourier, con la diferencia que tendremos la siguiente diferencia = , entonces después de cierta algebra llegaremos a que la solución final del potencial estará dada por 4 , = 1

sin .

=+1

60




Ecuaciones de Laplace
 Ejemplo 1 Solución de la ecuación de Laplace armónicos esféricos
Ahora presentare la solución a la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas donde limitaremos el análisis a los casos en que la solución es independiente del Angulo acimutal . Entonces la ecuación de Laplace en términos de este problema quedara como 1 2 1 + 2 sin =0 2 sin Donde empleamos el método de la separación de variables la cual estará dada por , = Θ Sustituyendo esto en la ecuación (67) tendremos que 1 2Θ 2 + 1 2 sin Θ sin =0 67

Separando las variables dependientes de las constantes para convertir las derivadas parciales por derivadas totales tendremos que Θ 2 2 + 2 sin Θ sin
2 Θ

=0

Multiplicando ambos lados de la ecuación por 1 2 +

tendremos que =0

1 Θ sin Θ sin

Dado esto podemos hacer lo siguiente 1 2 =− 1 Θ sin Θ sin

El lado izquierdo de esta ecuación es función únicamente de y el lado derecho es función de . La única forma en que una función de puede ser igual a una función de para todos los valores de y es que ambas funciones sean constantes. En consecuencia, igualaremos cada miembro de la ecuación anterior a k la constante de separación.
61



Consideremos primero la ecuación para , la cual es conocida como ecuación de Legendre, a continuación pondré los primeros 4 polinomios de Legendre los cuales son n 0 1 2 3 1 cos

1 5 cos3 − 3 cos 2

1 3 cos2 − 1 2

Entonces podemos escribir lo siguiente 1 Θ sin sin + = 0 (68)

Las únicas soluciones físicamente aceptables que están definidas en el intervalo de , que va desde 0 hasta las cuales corresponden a = ( + 1), siendo un entero positivo. La solución para una en particular se representara con . Las soluciones de la ecuación (68) para otros valores de no se comportan bien en la vecindad de = 0 o = radianes, volviéndose infinitas o incluso indefinidas para estos valores de . Ahora la ecuación radial será 2 = + 1

Dondehemos empleado la forma explícita de k que dio soluciones de aceptables. Las soluciones para la ecuación radial serán: = = − Las soluciones a la ecuación de Laplace se obtienen mediante el producto , = Θ , donde debe tenerse especial cuidado para que Θ y correspondan al mismo valor de . Entonces nos la solución de Laplace tendrá la forma de , = , , = − +1

A estas dos soluciones se les conoces como los armónicos esféricos, donde es uno de los polinomios de la tabla presentada en esta sección, y n es un entero positivo o cero.

62




 Ejemplo 2 esfera conductora
Supongamos el caso de una esfera conductora descargada, colocada en un campo eléctrico inicialmente uniforme, 0 . Entonces hagamos que el centro de la esfera coincida con el origen de nuestro sistema coordenado y que se mantenga constante el eje z es decir que sea independiente de la coordenada acimutal, esto nos reduce a la solución de los armónicos esféricos. La esfera es de radio a, a la cual representaremos como un potencial 0 . Entonces nuestro problema es hallar una solución de la ecuación de Laplace en la región exterior a la esfera que se reduzca a 0 sobre la esfera misma y que tenga la forma limitadora correcta a grandes distancias. Entonces la solución puede expresarse como 1 , = 1 + 1 −1 + 2 cos + 2 −2 cos + 3 2 3 cos2 − 1 3 1 + 3 −3 3 cos2 − 1 + a‹¯ 3 Donde las A y las C son constantes arbitrarias. Para r grande, el campo eléctrico se verá como , ,
→∞ →∞

= 0 = 0

= −0 +. = −0 cos + .

De esto tenemos que para r muy grande 2 = −0 y todas las demás A deberán ser cero. El término 1 −1 produce un campo radial que, como podría esperarse, es compatible solo con un conductor esférico que tiene una carga total neta. Como nuestro problema se trata de un conductor descargado entonces 1 = 0. Entonces en la superficie de la esfera, = 0 , y el potencial debe ser independiente del ángulo . Los dos términos en que interviene cos pueden eliminarse entre sí, pero los términos con potencias inversas de r, mayores no pueden eliminarse entre sí debido a que contienen funciones de Legendre diferentes. La única posibilidad es igualar todas las a cero cuando ≥ 3. Después de todo esto la solución tendrá la siguiente forma , = 1 − 0 cos + 2 −2 , ≥ , = 0 Dado que las dos expresiones deben ser iguales en = , 1 = 0 y 2 = 0 3 .
63




 Ejemplo 3 resolvamos la ecuación de Laplace para un rectángulo con condiciones de Dirichlet
La ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares estará dada por 2 2 + =0 2 2 Supongamos que nuestro rectángulo está limitado a 0 < < , 0 < < y que satisfaga las condiciones en la frontera dada como
=0

=

=

= 0, 0 < <

=0

=

=

= , 0 ≤ ≤

Donde es una función dada sobre 0 ≤ ≤ . Utilizando el método de separación de variables tenemos que , = () Entonces nuestra ecuación de Laplace tomara la forma ′′ ′′ =− = Entonces nos quedaran el siguiente sistema de ED ′′ − = 0 ′′ + = 0 La solución parala ecuación en Y sabemos que es un oscilador armónico entonces la solución está dada como = cos + sin 0 = cos 0 + sin 0 = = 0 = sin = 0 = = , a„•
64



Entonces las soluciones en Y como era de esperarse están dadas por = sin

La solución para la ecuación de X está dada por = sinh

Entonces la solución para esta ecuación quedara como , = sinh sin

Para satisfacer la condición no homogénea restante en la frontera cuando = entonces la solución se puede representar en términos de
∞ ∞

, =
=1

, =
=1

sinh

sin

Entonces como ya lo hemos hecho determinamos por medio de las series de Fourier lo cual nos quedara como
∞

, =
=1

sinh


sin =

Por tanto, las cantidades sinh de periodo 2b y se expresa por sinh

deben ser los coeficientes de la serie de senos,

2 =

() sin
0



 Ejemplo 4 resolvamos la ecuación de Laplace para un circulo con condiciones de Dirichlet
Ahora consideremos el problema de resolver la ecuación de Laplace en la región circular < , sujeta a la condición en la frontera , = Donde f es una función dada sobre 0 ≤ ≤ 2.

65



Entonces la ecuación de Laplace en coordenadas polares, la ecuación de Laplace toma la forma 2 1 1 2 + + =0 2 2 2 Aplicando de nuevo el método de separación de variables nos da , = Θ θ Entonces nos quedaran el siguiente conjunto de ED 2 ′′ + ′ − = 0 Θ′′ + Θ = 0 En este problemano hay condiciones homogéneas en la frontera; sin embargo, recuérdese que las soluciones deben ser acotadas y periódicas en , con periodo 2. Entonces la condición de periodicidad requiere que sea real. Entonces para esto consideraremos los casos en que sea negativa, cero y positiva. Si < 0, sea = −2, en donde > 0; entonces la ecuación angular quedara como Θ′′ − 2 Θ = 0 Y por tanto la solución estará dada por Θ θ = c1 eλθ + c2 e−λθ Por tanto, Θ θ puede ser periódica solo si c1 = c2 = 0 por lo cual se concluye que no puede ser negativa. Si = 0, entonces la ecuación angular queda como Θ′′ = 0 Y por tanto la solución estará dada por Θ θ = c1 + c2 θ Por tanto, Θ θ puede ser periódica solo si c2 = 0 de modo que Θ θ es constante. Además para = 0, la ecuación radial quedara como 2 ′′ + ′ = 0 Lo que resulta en la una ecuación del tipo Euler y tiene solución

66



= 1 + 2 ln No es posible aceptar el termino logarítmico, si , ha de permanecer acotada cuando → 0; de donde, 2 = 0. Por tanto, se obtiene la solución 0 , = 1 Por último si > 0, sea = 2 , en donde > 0; entonces la ecuación angular y radial quedara como 2 ′′ + ′ − 2 = 0 Θ′′ + 2 Θ = 0 La solución para la ecuación radial es una ecuación de Euler y tiene la solución = 1 + 2 − Y como ya sabemos la solución a la ecuación angular estará dada por Θ θ = 1 cos + 2 sin Para que Θ sea periódica con el periodo 2 es necesario que sea un entero positivo n. Con = se deduce que debe descartarse la solución − , en virtud de que sevuelve no acotada cuando → 0. Como consecuencia 2 = 0 y las soluciones apropiadas son , = cos , , = sin Estas funciones, junto con 0 , = 1, forman un conjunto de soluciones fundamentales del presente problema. Entonces la solución estará dada como 0 , = + 2
∞

cos + sin
=1

Entonces, utilizando las condiciones de frontera tendremos que 0 , = + 2
∞

cos + sin
=1

=

67



Como la función extendida tiene periodo 2, es posible calcular su coeficiente por medio de series de Fourier entonces para el intervalo 0,2 , será 1 =
2

cos , a„•
0 2

=

1

sin , a„•
0

Ecuaciones de Schrödinger
 Ejemplo 1 Oscilador armónico
En mecánica clásica, un oscilador armónico es una partícula de masa m que presenta una fuerza = −′ (suponiendo el origen en x=0), siendo ′ la constante de fuerza. Esta fuerza entonces es proporcional al desplazamiento x de la partícula respecto a su posición de equilibrio a x=0. La correspondiente función de energía potencial es = ′ 2 (figura
2 1

13).

Fig. 13.- barrera de potencial.

Cuando la partícula se desplaza fuera del equilibrio oscilará con frecuencia = La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico es − a„2 2 Ψ 1 ′ 2 + Ψ = Ψ 2 2 2



1 2

68



Clásicamente sabemos dada una energía E, no puede ser mayor a la amplitud A (que es el máximo desplazamiento del equilibro). La mecánica cuántica sin embargo permite cierta penetración en lasregiones clásicamente prohibidas pero la probabilidad disminuye a medida que la penetración aumenta (ya que la función de onda en la zona clásicamente prohibida es normalmente una exponencial decreciente). Por lo tanto la función de onda Ψ → 0 cuando → ∞. Reordenemos entonces la ecuación de Schrödinger escribiendo 2 Ψ 2 1 ′ 2 = 2 − Ψ 2 a„ 2 Vemos entonces que cuando → ∞ (sea x positivo o negativo) tal que sea positivo y entonces si Ψ es positiva y por lo tanto
2 Ψ 2 1 2

′ 2 −

también, la función será cóncava

hacia arriba. La Figura 14 muestra 4 posibles comportamientos a partir de un punto x A.

Fig. 14.-comportamientos de la partícula.

Si la pendiente es inicialmente positiva, la función al ser cóncava hacia arriba crecerá a infinito como lo muestra la Figura 14(a). Si la pendiente es inicialmente negativa en el punto considerado, habrá tres posibilidades. Si la pendiente cambia muy rápido (curva b) la función terminará tendiendo a infinito a x grandes. Si la pendiente no cambia tan rápido la función cruzará el eje x (curva c). Al cruzar el eje x, Ψ y
2 Ψ 2

serán negativas. Esto hará que
Ψ

la función tienda finalmente a menos infinito. Otra posibilidad es la mostrada en la curva d. La curva se tuerce lo justo para tender asintóticamente al eje x. En este caso Ψ, y
2 Ψ 2

tienden a cero a x grandes. Esta opción es la única que satisface la condición de contorno en
69



que Ψ → 0 cuando → ∞. Esto ocurrirá a solo ciertos valores de E. Es decir,considerando las condiciones de contorno, aparece la discretización de los valores de energía posibles. La ecuación rescrita de Schrödinger puede resolverse en forma exacta, las soluciones se llaman funciones de Hermite. Son funciones exponenciales multiplicadas por un polinomio en x. el estado con menor energía (el estado fundamental) tiene la función de onda Ψ = Ce
− mk ′ x 2 2a„

C es una constante que se elige de forma que Ψ esté normalizada. La energía correspondiente, es decir, la energía del estado fundamental del oscilador armónico es 0 = 1 1 k′ a„ω = a„ 2 2 m

Una resolución completa de la ecuación de Schrödinger nos dará que los niveles de energía permitidos del oscilador armónico son = + 1 k′ 1 a„ = + a„ω 2 m 2

Donde n es el número cuántico que identifica a cada estado. La Figura 15 muestra los 6 niveles de energía más bajos así como la función energía potencial U.

Fig. 15.-niveles de energía

70



Para cada nivel n, el valor de al cual la línea horizontal que representa a la energía total En corta a U(x) nos da la amplitud An correspondiente al oscilador clásico.

 Ejemplo 2 Partícula en una caja
Ahora resolveremos el problema de una partícula en una caja de paredes impenetrables en una dimensión. Para representar la caja podemos suponer que en las paredes existe un potencial infinito que no permite que la partícula escape y que dentro de la misma partícula puede moverse libremente. Entonces podemos suponer que la caja está situada de manera que el potencial() esta dada por−∞ < 0 = 0 0 ≤ ≤ ∞ > Las condiciones de frontera para esta partícula dada que la función de onda debe ser continua en todos los puntos, y como la partícula no puede penetrar del otro lado de la caja son Ψ = 0, < 0, > Entonces Ψ = 0, En las paredes de la caja. Ahora tenemos que ver que la primera derivada de la función de ondas sea continua en la frontera, entonces la ecuación de Schrödinger dentro de la caja es la ecuación de una partícula libre y está dada por a„2 2 Ψ − = Ψ 2 2 2 Ψ 2 + 2 Ψ = 0 2 a„ Entonces las soluciones para esta ecuación estarán dadas por = sin 2 + cos a„2 2 a„2

71



Aplicando las condiciones de frontera tendremos que 0 = sin 2 0 + cos a„2 2 0 = = 0 a„2

= sin

2 = 0 a„2

2 = a„2 Entonces despejando para valores de E tendremos que = 2 2 a„2 22

Entonces la solución para la ecuación de Schrödinger será = sin 2 2 a„2 2

De la solución de esto podemos inferir que      Los valores de la energía representan los posibles niveles de energía del sistema. Los niveles de energía están cuantizados y son discretos. Lo cual es una característica de los sistemas confinados. El número = 1,2,3, … es llamado el numero cuántico. La exclusión de E=0 es una consecuencia de la mecánica cuántica. La incertidumbre en la posición de la partícula dentro de la caja aˆ† = implica que aˆ† ≥ .
a„

72




 Ejemplo 3 función de onda
Ahora trataremos de encontrar el cambio que sufre una función de onda para= 0 la cual está dada por 0 2 − 0 , 0 = exp − a„ 2 , = a„
1 4

Para resolver este problema se requiere determinar la función de onda , , la cual satisface la ecuación de Schrödinger a„ =

El cual tiene las condiciones de frontera que ya mencionamos. Si no contiene explícitamente al tiempo, la ecuación anterior tendrá las soluciones de la forma , = −
a„

69

Donde es la auto función independiente del tiempo del operador donde = Si encontramos los coeficientes del desarrollo de , 0 en términos del conjunto de funciones serán tales que , 0 =



= Entonces la función

, 0

−

a„

Satisface la ecuación de Schrödinger que definimos aquí, mas aun a = 0 es igual a , 0 . Ahora las auto funciones para la ecuación de Schrödinger serán − a„2 2 2 ′′ + = 2 a„

73



Las cuales son como lo vimos anteriormente, de la forma siguiente = − Donde = a„
1 4 2 , = 2 2 2



1 1 , = a„ + 2 ! 2

Así, la función de onda requerida , satisface, de acuerdo a (69), la relación , =

−

a„

Donde
∞

=

−∞

exp −2

− 0 2

2

+

0 2 2 − a„ 2

Para evaluar utilizamos la expresión para la función generadora de los polinomios de Hermite el cual esta descrito como
∞

exp − + 2 =
=0

!
!

Entonces es fácil ver que la expresión

es el coeficiente de

en el desarrollo en potencias de de

2 − 0 exp − + 2 − 2 −∞
∞ 2

2

0 2 2 + − a„ 2

A partir de esto se sigue que = 0 +0 a„

exp −

2 0 2 1 0 + 0 − 2 4 a„

2

después de ciertas operaciones matemáticas llegamos a que la solución será

74



, = exp − 2 − cos − 2 − 2 sin + − 2 2 2 2 + sin 2 + − sin 2 4

 Ejemplo 4 oscilador aplicado a un campo colombiano
Ahora consideraremos un potencial de la forma = −

Esto nos lleva a una expresión del a ecuación de Schrödinger de la forma 2 2 2 2 + + + =0 2 a„ a„ a„2 Donde L es el momento angular. Entonces haciendo = + ′ − 2
2

= − 2 − +

′ − 2 = −2 − Entonces debemos hacer coincidir

2 2 + − 2

2 = −2 a„2 2 = −2 a„2 2 = 2 + a„2 Despejando a del renglón de en medio tenemos que − = a„2
75



Introduciendo el valor del primer renglón obtendremos que 2 = − 2a„2 Haciendo b=-n = − = Estableciendo que = + 1 entonces = 2 + a„ 2 2 2 a„2

2 − a„

Entonces encontramos los valores de energía para , para valores del momento angular con valores de los números cuánticos = + 1.

Para las funciones de onda asociadas: ′ + = 0 ′ + + = 0

= − + = − +

ln = − − + Donde c es una constante de integración, recordando ahora que = , finalmente llegamos a que = − Donde estas son las funciones de onda del campo colombiano para valores de los números cuánticos = + 1.

76




Átomo de Hidrogeno
Ahora queremos resolver el problema del movimiento de un electrón en un átomo alrededor de su núcleo. Entoncesdeterminaremos los estados posibles y niveles de energía del átomo de hidrógeno y átomos hidrogenoides. El conocimiento de los niveles de energía servirá para explicar los espectros de emisión/absorción del átomo de hidrogeno.

Ž

Fig. 16.-ejemplificacion de átomos hidrogenoides

Entonces consideremos un sistema el cual esta compuesto por un electrón y un núcleo que interaccionan mediante un potencial Coulombico = 1 2 40 1 − 2

Donde Z es el numero atómico , es la carga del electrón, 1 y 2 los radio-vectores del núcleo y el electrón, y 0 es una constante conocida como permitividad en el vacío. La contribución de la energía cinética del electrón, energía cinética del protón y energía potencial electrón-núcleo. De modo que el Hamiltoniano que describe el sistema será: ≡ + + =− a„ 2 2 2 a„ 2 2 2 1 2 + 2+ 2 − + 2+ 2 + 2 2 2 2 40 −

77



siendo A§ la constante de Dirac. El movimiento de dos partículas puede separarse en el movimiento del centro de masa del sistema y el movimiento relativo de las dos partículas y esto afectará al Hamiltoniano (figura 17).

Fig. 17.-movimiento del centro de masa entre dos partículas

Esto mismo se puede ver matemáticamente. Consideramos el cambio a una sola dimensión (X) y a M la masa del centro de masas y a μ la masa reducida del sistema, tal que: = 1 + 2 = 1 2 1 + 2

78




Después del cambio de variable del Hamiltoniano tenemos la Ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo)para el sistema: ≡ + + a„ 2 2 2 a„ 2 2 2 1 2 =− + + − + 2 + 2 + 2 2 2 2 2 2 40

Donde =
2 2 2 + +

79



La ecuación diferencial es separable en unas coordenadas que describen el movimiento del centro de masa del sistema , , y unas coordenadas internas . La solución del movimiento del CDM sería la de la partícula libre de masa = 1 + 2 .La energía correspondiente es la energía traslacional del sistema. , , = , , Pero el movimiento que nos interesa definir es el movimiento relativo entre el electrón y el protón. Tras el cambio de variable, el sistema se puede considerar como el de una partícula de masa que se mueve respecto al centro de coordenadas.

Fig. 18.-particula de masa

La forma del potencial (depende únicamente de la distancia al centro de coordenadas) hace que sea más factible resolver la ecuación diferencial en, coordenadas esféricas. Entonces el Hamiltoniano del movimiento relativo electrón-núcleo será a„2 2 2 1 2 1 2 = − + + Λ + 2 2 2 40 Donde Λ es la parte angular del Hamiltoniano que recoge ambos ángulos. La parte angular del Hamiltoniano es análoga a la de la partícula en una esfera (ya que el potencial electrón-núcleo solo es función de la distancia) con la diferencia de que la distancia al centro de coordenadas no es constante. Podemos considerar el sistema como una partícula de masa que se mueve sobre la superficie de esferas concéntricas de radio variable. De esta manera, la parte angular de la función de onda serán lassoluciones para la partícula en una esfera (armónicos esféricos) y quedara por resolver la dependencia radial de la función de onda.
80



Entonces las funciones de onda para el átomo de hidrogeno tendrán la forma Ψ , , = , , siendo la parte de la función dependiente únicamente de (la parte radial) e la parte de la función dependiente de y de (la parte angular). Los números y están relacionados con el momento angular del electrón, siendo este el producto vectorial del momento lineal del electrón (p) por su radio vector (r): = × Y si sustituimos la expresión de la función de onda en la ecuación de Schrödinger Ψ , , = Ψ , , − a„2 2 2 1 + + 2 Λ2 , , + , , = Ψ , , 2 2

O lo que es lo mismo − a„2 ΘΦ 2 Φ Θ Θ 2 Φ 2 + 2 sin + 2 2 + ΘΦ 2 2 2 sin sin 2 40 = EΘΦ
2 sin 2 ΘΦ

Multiplicando la ecuación anterior por que

y reordenando términos obtendremos

sin2 2 sin Θ 1 2 Φ 2 sin2 + sin + + 2 Θ Φ 2 a„

2 + =0 40

En esta expresión, la variable está separada del resto en el tercer término. Cuando cambia , la suma del primer, segundo y cuarto términos no cambia, ya que en ninguno de ellos interviene , por lo que el tercer término tiene que ser constante también para que la suma pueda ser, para cualquier valor de , igual a cero. Por conveniencia, a esta constante le llamaremos −2 1 2 Φ = −2 Φ 2 Podemos seguir separando variables. Sustituyendo −2 en la última ecuación y dividiendo por sin2

81


Ecuaciones Diferenciales en lafísica 2011
1 2 1 Θ 2 2 2 + sin − 2 + + =0 2 Θ sin a„ 40 Obsérvese que el primer y cuarto términos dependen sólo de r, y el segundo y tercero de . Siguiendo el mismo razonamiento que hemos hecho para , la suma de los términos que dependen de r debe ser igual a una constante a la que, por conveniencia, llamaremos ( + 1), y la suma de los términos que sólo dependen de debe ser igual a −( + 1). Estas últimas constantes no se toman a capricho sino que tiene una razón. De los dos momentos angulares que existen y que aquí son tratados como operadores mecanocuánticos, el momento angular orbital es el análogo de la magnitud clásica y es debido al movimiento de la partícula a través del espacio. Esta magnitud alrededor del núcleo puede demostrarse que es igual a
1 2a„

+ 1

La componente de a lo largo del eje z, , puede demostrarse que es igual a a„. En resumen 2 2 2 + + = + 1 2 a„ 40 Θ 2Θ sin − 2 = − + 1 Θ sin

La solución de la parte radial son las funciones asociadas de Laguerre. Consisten en una función exponencial multiplicada por un polinomio en . Las diferentes soluciones dependen del número cuántico y de otro nuevo número cuántico (número cuántico principal). Las primeras soluciones son:
82




Por otro lado, una solución de la parte angular es Φ = sin La componente es la constante de normalización, es decir para que se cumpla
2 0

2 = 1

Por tanto su valor debe ser
2 0

2

sin2

=

2

2 0

sin2

=

2

sin 2 − 2 4

2= 2
0

2 =1 2
83



= Donde la función Φ queda como Φ= 1 1

Cualquiera que sea el valor de , la función anterior es solución de la ecuación de Schrödinger. Ahora bien, las condiciones frontera que hemos impuesto a la función de onda para que su cuadrado pueda tener sentido físico, limitan los valores posibles para . Una de dichas condiciones es que la función de onda tiene que tener un único valor en cada punto del espacio. Eso implica que el valor de para un ángulo tiene que ser igual que su valor para un ángulo 360° > ( + 2 ). En los siguientes ejemplos se muestra que esto sólo se cumple si es un número entero 0, ±1, ±2, ±3, … , 0 +1 +2 +
1 2

Φ = sin sin 0 sin sin 2 sin 2 = = = Distinto de

Φ = sin + 2 sin 0 sin + 2 sin 2 + 4 sin + 2

Hay una solución para Φ por cada valor entero de . De manera que las soluciones finales tienen la forma Ψ,, r, φ, θ = . , Hay una solución completa de Ψ por cada trío de valores , , donde puede tomar cualquier valor entero igual o mayor que 1, cualquier valor entero entre 0 y − 1, y cualquier valor entero desde hasta – . Algunas funciones de onda completas (llamadas Orbitales) para el átomo de Hidrogeno (Z=1) son las siguientes

84




85




Función de distribución radial
Algunas de las soluciones a la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno son funciones complejas. Podemos buscar funciones reales (másfáciles de visualizar) usando la propiedad de los estados degenerados: “En estados degenerados, cualquier conjunto de combinaciones lineales que sean linealmente independientes son una descripción adecuada de esos estados del sistema”. Ejemplo: El orbital 2p0 es una función real pero los orbitales 2p +1 y 2p-1 son funciones complejas. El 2p0 se deja como está. Se suele llamar 2p z.

Podemos tomar las siguientes combinaciones lineales de 2p +1 y 2p-1:

Los orbitales resultantes son funciones reales y son también funciones propias del operador hamiltoniano del átomo hidrogenoide. Igual se hace con los orbitales 3p,4p, etc…

86



Para los orbitales d:

Forma de los orbitales reales
1 4



Orbitales s: En ellos l=0, por lo tanto, la parte angular del orbital es 00 = es constante.

, que



Los orbitales s tienen simetría esférica

Fig. 19.-representacion de superficie

87




Fig. 20.Representación de nubes de puntos. Nodos radiales: Son valores de r para los que la densidad de probabilidad es cero. Ns de nodos radiales=nl-1



Orbitales p: l=1. Las funciones de los ángulos. No tienen simetría esférica sino que están orientados en el espacio.

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 Orbitales d: l=2 También están orientados en el espacio dependiendo de los ángulos.

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Referencias                 H Haberman. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADASPARCIALES con Series de Fourier y Problemas de Contorno. Pentice Hall. Ss Strauss. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. An Introduction. Wiley, W Weimberger. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES. Reverté MU Myint-U. PARTIAL DIFFRENTIAL EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS. Elsevier T Tijonov-Samarski. ECUACIONES DE LA FISICA MATEMATICA. Mir Sp Stephenson. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Reverté Ch Churchill. SERIES DE FOURIER Y PROBLEMAS DE CONTORNO. McGraw-Hill J John. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. Springer-Verlag Sk Stakgold. GREEN’S FUNCTIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS. Wiley BD Boyce-Di Prima. ECUACIONES DIFERENCIALES y problemas con valores en la frontera. Limusa Si Simmons. ECUACIONES DIFERENCIALES (con aplicaciones y notas históricas). McGraw-Hill Br Braun. ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES. Interamericana R Ross. ECUACIONES DIFERENCIALES. Reverté E Elsgoltz. ECUACIONES DIFERENCIALES Y CALCULO VARIACIONAL. Mir MCZ Marcellán-Casasús-Zarzo. ECUACIONES DIFERENCIALES. PROBLEMAS LINEALES Y APLICACIONES. McGraw-Hill PA Puig Adam. CURSO TEORICO-PRACTICO DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA FISICA Y TECNICA.
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