Circuitos

Entre las aplicaciones prácticas más útiles de la electricidad está el
flujo de corriente eléctrica en un circuito cerrado bajo la influencia de
una fuente de voltaje. Un circuito completo involucra el uso de alambres
conductores y elementos del circuito tales como resistencias, condensadores e inductores. En este capítulo recordaremos algunas ideas acerca de
campo eléctrico y potencial para el análisis de circuitos eléctricos.

1 Leyes de Kirchhoff
Uno de los objetivos principales de la teoría de circuitos es saber cuales
son las corrientes que circulan por un circuito determinado. Ahora vamos
a ocuparnos de corrientes estacionarias, es decir corrientes en circuitos de

corriente continua.
Vamos a comenzar pordefinir el concepto de fem (fuerza electromotriz)1 de una batería, que el es máximo voltaje que la batería puede
suministrar entre sus terminales.
En una batería real que está hecha de materiales conductores hay una
resistencia al paso de las cargas dentro de la batería. Esta resistencia
se llama resistencia interna r. Si miramos la figura 1, podemos esquematizar la batería internamente. Si hay una corriente circulando por el
circuito (circuito cerrado), la diferencia de potencial entre los puntos a y
d no es igual a la fem ε. Si una carga pasa desde a hasta b su potencial se
ve incrementado en ε y cuando pasa por la resistencia interna el potencial
disminuye en Ir por lo tanto

Por razones históricas se usa este término desafortunado; no es una fuerza sino una diferencia de potencial en
volts.
1

Estructura interna de la batería

aˆ†V = Vd − Va = ε − Ir
Pero aˆ†V debe ser también la diferencia de potencial entre e y f de la
resistencia R (resistencia de carga) que está dada por IR
IR = ε − Ir
de aquí se tiene que
ε = I (R + r )

ó

I=

ε
R+r

En un circuito cerrado como el de la figura 1, si medimos con un
instrumento (voltímetro), la diferencia de potencial aˆ†V = Vd − Va ,
lo que estaremos midiendo, en realidad, es la tensión de la batería (el

Figura 1: Estructura interna de una
batería.


152

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

valor práctico) menos la caída de tensión Ir debido a la resistencia
interna.
En un circuito abierto (no existe ningún circuito conectado a
labatería) no circula corriente, por lo tanto el voltímetro mediría
aˆ†V = Vd − Va ≈ ε. Ponemos el signo de aproximación (≈) porque el
voltímetro también tiene una pequeña resistencia interna.

Un circuito puede consistir de varias ramas o mallas cada una con
una fem distinta. El problema central del análisis de circuitos consiste en
que dadas las resistencias y las fems de cada rama, se pide encontrar las
corrientes que circulan por cada una de las ramas. Por ejemplo la figura
2 muestra un circuito donde las cinco resistencias y las dos fems son
conocidas. El problema consiste en determinar las seis corrientes.
Figura 2: Un circuito ejemplo donde
las incógnitas son las seis corrientes.

Para resolver este problema necesitamos formular las dos leyes de
Kirchhoff

Dirección de recorrido del circuito

1. la suma algebraica de las corrientes que fluyen hacia un nodo es cero, es decir
Ij = 0

Esta ley es una manifestación de que la carga no se acumula en un
nodo del circuito debido al régimen estacionario de la corriente.
2. La suma algebraica de las fems en cualquier malla del circuito es igual
a la suma algebraica de los productos IR en esa malla, es decir
εi =

Ij Rj



εi −

Ij Rj = 0

Esta ley es una generalización de la expresión ε = IR + Ir que obtuvimos para una batería.

Figura 3: Reglas para determinar las
diferencias de potencial a través de una
resistencia y una batería. (Se supone
una batería sin resistencia interna) Cada elemento de circuito es atravesado
de izquierdaa derecha como indica la
flecha de arriba.


circuitos

153

Con estas dos leyes estamos en condiciones de resolver el problema de
la figura 2. Se pueden establecer seis ecuaciones para determinar las
corrientes que son las seis incógnitas. Por ejemplo:
−I1 + I3 + I5 = 0
ε1 = I6 R6 + I5 R5 + I1 R1

etc

Para aplicar la segunda ley, podemos imaginarnos moviéndonos alrededor de una malla y considerando cargas en un potencial eléctrico en
vez de cambios en energía potencial. La figura 3 ilustra cuatro casos de
la convención de signos para determinar las diferencias de potenciales a
través de una resistencia y una batería.
EJEMPLO 1
En el circuito de la figura, la batería tiene una resistencia interna despreciable. Encontrar:
(a) La corriente en cada resistencia
(b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b.
(c) La potencia suministrada por cada batería.
Solución: Asignamos tres corrientes como muestra la figura de abajo.
(a) En el nodo a aplicamos la primera ley de Kirchhoff
I1 + I2 = I3
Con el nodo b obtenemos la misma información así que no nos sirve. En la malla de la izquierda aplicamos
la segunda ley (recorrido horario ):
+12 − 4I1 − 6I3 = 0
Si hacemos lo mismo para la malla exterior del circuito
12 − 4I1 + 3I2 − 12 = 0



−4I1 + 3I2 = 0

De estas tres ecuaciones se obtiene
I1 = 0.667 A

I2 = 0.889 A

I3 = 1.56 A

(b) Aplicamos la ley de Ohm para obtener la diferencia de potencial entre
los puntos a y b
aˆ†Vab = (6 a„Š)I3 = (6 a„Š)(1.56 A) = 9.36 V
(c) La potencia encada batería se calcula con P = V I
Pizq = (12 V)I1 = (12 V)(0.667 A) = 8.00 W
Pder = (12 V)I2 = (12 V)(0.889 A) = 10.7 W


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electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

EJEMPLO 2
En el circuito de la figura se pide determinar las tres corrientes.
Solución: Aplicando la primera regla de Kirchhoff en cualquiera de
los dos nodos (b) o (c)
I1 + I2 = I3
Ahora aplicamos la segunda regla de Kirchhoff a la malla (abcda)
10.0 V − (0 a„Š)I1 − (2.0 a„Š)I3 = 0
Para la malla (bef ce)
−14.0 V + (0 a„Š)I1 − 10.0 V − (4.0 a„Š)I2 = 0
Tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, las cuales forman un sistema de tres ecuaciones lineales:

I1 + I2 − I3 = 0 


3I1 + I3 = 5


3I − 2I = 12
1

2

Aunque este sistema de ecuaciones es sencillo de resolver, una forma cómoda de resolverlo es usar el método
de eliminación gaussiana, que consiste en transformar este sistema de ecuaciones en una matriz aumentada
y luego efectuar operaciones entre filas:


1



 3

3

1

−1

0

1

−2

0

0





1





5  (1) + (2)  4
−− −→
−−−
12
3

1

−1

1

0

−2

0

0





1

1





5  2 × (2) + (3)  4 1
−− − − − 
− − − −→
12
11 0

−1
0
0

0





5 

22

De aquí se desprende fácilmente que 11I1 = 22 I1 = 2.0. También de la fila (2): 4(2) + I2 = 5 I2 = −3.0.
De la primera fila: 2 − 3 − I3 = 0 I3 = −1.0
I1 = 2.0 A

I2 = −3.0 A

I3 = −1.0 A

Las corrientes I2 e I3 son negativas, indicando en realidad que estascorrientes van en el sentido contrario
en la figura.


circuitos

155

EJEMPLO 3

En el circuito de la figura, si está en condiciones estacionarias, encontrar las corrientes.
Solución:
En primer lugar hay que notar que en la figura de la izquierda solo se han dibujado sólo tres corrientes, pero
ninguna en el trazo (ah). La razón es que estamos en condiciones estacionarias donde el condensador ya se
ha cargado completamente y ya no recibe más carga, por lo tanto Iah = 0. Entonces el circuito se reduce a
la figura del lado derecho donde la corriente Ibg = I1 .
En el nodo (c) o (f ) se cumple
I1 + I2 = I3
En la malla (def cd) hacemos el recorrido horario
4 − 3I2 − 5I3 = 0
En la malla (cf gbc)

+3I2 − 5I1 + 8 = 0
Con estas tres ecuaciones construimos la matriz



1 1 −1 0
1






 0 3
5 4  −5 × (1) + (3)  0

− − − − − →
−−−−−
5 −3 0 8
0

aumentada:
1

−1

3

5

−8

5

0





1





4  −1 × (2) + (3)  0
− − − − − →
−−−−−
8
0

1

−1

3

5

−11

0

0





4 

4

De esto se ve de inmediato que −11I2 = 4 I2 = −4/11 = −0.364. Los otros dos valores se obtienen
sustituyendo I2 .
I1 = 1.38 A
I2 = −0.364 A
I3 = 1.02 A
sCual es la carga en el condensador?
Solución: Si aplicamos la segunda regla en la malla (bghab) nos estamos moviendo en el sentido horario
−8 + aˆ†VC − 3 = 0



y la carga se obtiene de Q = Caˆ†VC , luego
Q = 60 µC

aˆ†VC = 11.0 V


156

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)EJEMPLO 4
En el circuito de la figura calcular la diferencia de potencial entre los
puntos a y b e identificar el punto que está a mayor potencial.
Solución: En la malla asignamos una corriente I y aplicamos la segunda
regla de Kirchhoff ( )

+12 − 2I − 4I = 0



I = 2.0 A

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la malla de la derecha, en sentido
antihorario ( ), teniendo en cuenta que por la resistencia 10.0 a„Š no hay corriente

(Va − Vb ) + 4.0 V − (2.0 A)(4.0 a„Š) − (0.0 A)(10.0 a„Š)



Vb − Va = −4.0 V

El signo negativo indica que el punto a está a mayor potencial.
EJEMPLO 5
Considere el circuito de la figura con un condensador descargado. Use sus conocimientos de como se comportan los condensadores en los circuitos para encontrar:
(a) La corriente inicial a través de la batería justo después que
se cierra el interruptor.
(b) La corriente estacionaria (continua) a través de la batería
cuando ha pasado mucho tiempo después que se ha cerrado el
interruptor.
(c) El voltaje máximo a través del condensador.
Solución:
(a) Aplicamos Kirchhoff a la malla exterior del circuito, asignando una corriente en sentido horario.

+120 V − I0 R − VC = 0
El signo menos en el voltaje del condensador es porque estamos recorriendo la malla ( ) en la dirección de la
placa positiva a la placa negativa del condensador. Como el condensador está descargado al inicio, entonces
VC = 0, luego
120 V − I0 (1.2 × 106 a„Š) = 0 I0 = 0.100 mA
Notar que por la resistencia de 600 ka„Š no hay corriente, pues el condensadoractúa como un cortocircuito.
(b) Cuando ha pasado mucho tiempo (t = ∞), el condensador está cargado y ya no circula corriente por la rama donde está el condensador; el
circuito se reduce a una fuente voltaje con dos resistencias en serie. La
corriente se calcula
I∞ =

120 V
= 67 µA
1.2 × 106 a„Š + 600 × 103 a„Š

(c) El máximo voltaje a través del condensador es igual a la diferencia de potencial entre los puntos a y b


circuitos

(la caída de potencial en la resistencia de 600 ka„Š). Aplicando la ley de Ohm
VC = I∞ (600 ka„Š) = (67 µA)(600 ka„Š) = 40 V

157


158

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

2 Circuitos RC
En la sección 3.10 introdujimos el concepto de condensador y describimos el proceso de carga. También calculamos la capacidad de varias
configuraciones de condensadores. A partir de la expresión de capacidad
pudimos deducir la ecuación para obtener la energía almacenada en un
condensador. En esta sección veremos el proceso de carga y descarga de
condensadores cuando estos son parte de un circuito. Un circuito RC es
básicamente una resistencia y un condensador.

2.1 Descarga de condensadores
Consideremos el circuito de la figura 4. Inicialmente, antes de cerrar
el interruptor, el condensador tiene carga Q0 (totalmente cargado) y una
diferencia de potencial aˆ†V0 = Q0 /C. Por supuesto que no hay corriente.
En el momento de cerrar el interruptor (t = 0) la corriente comienza a
fluir y el condensador comienza a descargarse a través de la resistencia.
Pasa un tiempo hasta que elcondensador se descarga completamente. En
ese momento la corriente a través de la resistencia es cero.
El interruptor se cierra en
Carga máxima:

(a) Antes de cerrar el interruptor
La corriente reduce la
carga en el codensador.
Carga:

(b) Después de cerrar el interruptor

Consideremos aplicar la segunda ley de Kirchhoff al circuito cuando
está ocurriendo el proceso de descarga (t > 0)
aˆ†VC − IR = 0
Si q es la carga en cualquier instante t > 0 y poniendo aˆ†VC = q/C
q
− IR = 0
C
Recordando que I = −dq/dt (el signo menos indica que la corriente va
disminuyendo), tenemos
q
dq
+
=0
RC
dt

Figura 4: Descarga de un condensador en un circuito RC.


circuitos

159

Esta es una ecuación diferencial muy sencilla con solución:
q (t) = Q0 e−t/RC
Notar que la solución cumple con la condición inicial q = Q0 en t = 0.
De la expresión para q podemos obtener cómo varía la corriente
I (t) = −

dq
1
= −Q0 −
dt
RC

e−t/RC

pero Q0 /RC = V0 /R = I0 , luego
I (t) = I0 e−t/RC
Las curvas que describen el proceso de descarga se muestran en la figura
5.

Curva de decaimiento
exponencial
La carga ha disminuido a
un 37% de su valor inicial.

Figura 5: Curvas de decaimiento de
la carga en el condensador y de la corriente por la resistencia.

La corriente ha disminuido
a un 37% de su valor en

Es útil definir la cantidad τ = RC llamada constante de tiempo. Esta
constante nos indica que en el tiempo t = τ la carga a decrecido hasta
1/e (alrededor de 37 %) de su valor inicial.

2.2Carga de condensadores
En este caso, suponemos un condensador completamente descargado y
en t = 0 lo conectamos a una batería tal como muestra la figura  En
t = 0 se cierra el interruptor y comienza a fluir corriente, es decir la carga
se mueve desde un electrodo del condensador hasta el otro electrodo. El
condensador se carga hasta que ocurre el equilibrio ε = aˆ†Vmax , donde
aˆ†Vmax es la máxima diferencia de potencial del condensador. En ese
momento el condensador tendrá una carga máxima dada por
Qmax = C (aˆ†Vmax ) = Cε
Cuando se cierra el interruptor (t = 0), la corriente toma su valor
máximo (Imax = ε/R). A medida que pasa el tiempo (t > 0) la corriente
va disminuyendo hasta un valor de cero (condensador cargado). Entonces
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff ( ) al circuito 6-(b) para t > 0
q
− IR = 0
C
Notar que aˆ†VC = −q/C < 0, puesto que estamos recorriendo el circuito ( ) en la dirección de la placa positiva a la placa negativa del
ε + aˆ†VC − IR = ε −


160

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

El interruptor se cierra en

Figura 6: Carga de un condensador
en un circuito RC.

(b) Después de cerrar el interruptor

(a) Antes de cerrar el interruptor

condensador; esto representa una disminución en el potencial. Sabiendo
que I = +dq/dt (con signo positivo porque la carga va aumentando)
ε−

q
dq
− R=0
C
dt

ε
q
dq
−
−
=0
R RC
dt
Esta ecuación diferencial tiene como solución:
q (t) = Qmax (1 − e−t/RC ) = Cε(1 − e−t/RC )
De aquí obtenemos fácilmente lacorriente, I = dq/dt
I (t) =

ε −t/RC
e
R

Las curvas correspondientes para la carga y la corriente se muestran en
la figura 7.
La carga ha aumentado hasta
un 63% de su valor final.

Figura 7: Curvas de decaimiento de
la carga en el condensador y de la corriente por la resistencia.

La corriente ha disminuido
a un 37% de su valor inicial.


circuitos

161

PROBLEMAS
1 En el circuito, las baterías ideales tienen fems ε1 = 150 V y ε2 = 50 V. Las resistencias son R1 = 3.0 a„Š y
R2 = 2.0 a„Š. Si el potencial en P es 100 V, sCuál es el potencial en Q?

Sol.: –10 V.
2 En el circuito de la figura:
(a) Encontrar la corriente en cada parte del circuito. Después de eso, dibujar en el diagrama la magnitud y
dirección correcta de la corriente en cada parte del circuito.
(b) Asignar V = 0 al punto c y calcular el potencial en todos los puntos (a hasta f ).

Sol.: (a) I12a„Š = 2 A, I3a„Š = 3 A, I6a„Š = 1 A, I3a„Šp = 2 A, I6a„Šp = 1 A; (b) Vd = 21 V, Ve = 15 V, Vf = 15 V,
Va = 33 V, Vb = 9 V.
3 En el circuito de la figura:
(a) Encontrar la corriente en cada rama.
(b) Encontrar la energía disipada en la resistencia de 4 a„Š en 3 s.

Sol.: (a) I4a„Š = 1.5 A, I3a„Š = 2.0 A, I2a„Š = 0.5 A; (b) 27 J.
4 El interruptor S ha estado cerrado por un largo tiempo y el circuito lleva una corriente constante. Suponer
que C1 = 3.00 µF, C2 = 00 µF, R1 = 4.00 ka„Š y R2 = 7.00 ka„Š. La potencia disipada en R2 es de 2.40 W.
(a) Encontrar la carga final en C1 .
(b) Ahora se abre el interruptor. Después de muchos milisegundos, sCuánto hacambiado la carga en C2 ?


162

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Sol.: (a) Q1 = 222 µC; (b) aˆ†Q = 444 µC
5 En el estado estacionario, la carga del condensador de 5.0 µF de la figura es de 1000 µC.
(a) Encontrar la corriente de la batería.
(b) Encontrar las resistencias R1 , R2 , y R3 .

Sol.: (a) Ibat = 25.0 A; (b) R1 = 0.400 a„Š, R2 = 10.0 a„Š, R3 = 67 a„Š
6 Los condensadores del circuito está inicialmente descargados.
(a) sCuál es el valor de la corriente inicial de la batería cuando se cierra el interruptor?.
(b) sCuál es la corriente de la batería después de un largo tiempo?
(c) sCuál es la carga final de los condensadores?

Sol.: (a) I0 = 3.42 A; (a) I∞ = 0.962 A; (c) Q10µF = 260 µC, Q5µF = 130 µC
7 En la figura, suponga que el interruptor ha sido cerrado un tiempo suficientemente largo para que el
condensador esté completamente cargado.
(a) Encontrar la corriente, en estado estacionario, en cada resistencia.
(b) Encontrar la carga del condensador.
(c) El interruptor se abre en t = 0. Escribir una ecuación para la corriente a través de la resistencia de 15.0 ka„Š,
en función del tiempo.
(d) Encontrar el intervalo de tiempo requerido para que la carga en el condensador caiga hasta un quinto de su
valor inicial.

Sol.: (a) I3 ka„Š = 0, I12 ka„Š = I15 ka„Š = 333 µA; (b) 50.0 µC; (c) I15 ka„Š = (278 µA)e−t/(0.180 s) ; (d) 290 ms


circuitos

163

8 En la figura los condensadores están inicialmente descargados. Se cierra el interruptor S2 y luego el
interruptor S1 .
(a) sCuál es lacorriente de la batería inmediatamente después que el interruptor S1 se ha cerrado?
(b) sCuál es la corriente de la batería un largo tiempo después que se han cerrado ambos interruptores?
(c) sCuál es el voltaje final a través de C1 ?
(d) sCuál es el voltaje final a través de C2 ?
(e) El interruptor S2 se vuelve a abrir después de un largo tiempo. Expresar la corriente por la resistencia de
150 a„Š en función del tiempo.

Sol.: (a) 0.120 A; (b) 40.0 mA; (c) 8.00 V; (d) 00 V; (e) I (t) = (40 mA)e−t/7.5 ms