ESCUELA NACIONAL DE CIENCIAS BIOLÓGICAS
Práctica 2: Caída Amortiguada |
LABORATORIO: FÍSICA GENERAL

1IM1Equipo 2 |
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Práctica 2: “Caída Amortiguada”
Objetivo
Verificar la hipótesis de que un cuerpo que cae verticalmente en un fluido, lo hace con movimiento rectilíneo uniforme una vez superada la etapa de la aceleración; y de ser así, determinar la ecuación posición-tiempo correspondiente.
Introducción
Cuando una partícula se mueve en línea recta conviene hacer coincidir un eje de coordenadas con la trayectoria, por ejemplo el eje x. De ese modo, el movimiento queda descrito por cierta función x=f(t) que nos permite conocer la posición x de la partícula en cualquier tiempo t.
Disponiendo de la ecuación posición-tiempo, x=f(t) es posible también determinar la rapidez con la que varia la posición de la partícula en cualquier instante, o “velocidad instantánea” vx de la misma, aplicando la definición.

En realidad x y vx son las componentes de x en la posición r y de la velocidad v, respectivamente, las cuales, son cantidades vectoriales con las siguientes características: El vector posición r va dirigido del origen del sistema de referencia x-y-z utilizado hacia la partícula y su magnitud r es la distancia quela separa de dicho origen; el vector velocidad v tiene la dirección y sentido del movimiento de la partícula, si se mueve a lo largo de un eje x se puede omitir la notación vectorial, utilizando la componentes (escalares) x y vx en lugar de los vectores r y v, pues al ser componentes únicas los describen completamente.
Veamos un ejemplo: un automóvil circula por una calle que esta en la dirección norte-sur. Ver fig. No. 1. Al introducir un eje x dirigido de sur a norte y con su origen en cierto punto (en una etapa de alcantarilla), el movimiento quedo descrito por la función x= 60-t2 dentro de los primeros diez segundos, en donde x esta en metros y t en segundos.*: sCuál fue la posición cual fue la velocidad y la posición del automóvil en el instante t= 5 seg.?

Resolviendo la ecuación dada para t= 5 s

Lo que significa que en dicho instante el automóvil estaba a 35m del origen del eje x (es decir, de la tapa), medidos en la dirección del eje (de la calle) y en el sentido del mismo (hacia el norte). Vemos como de un modo indirecto la componente en x (que es también la única coordenada de la partícula) da las tres características del vector r.
Determinemos ahora la velocidad:

Y hallando su valor para t= 5s:

Lo que significa que en el instante considerado el automóvil se estaba moviendo con una rapidez de 10 m/s, en dirección del eje x (de lacalle), pero en sentido opuesto al del eje (hacia el sur), quedando así especificadas las características del vector v . En la figura 1 se han ilustrado la posición r y la velocidad v en el instante t= 5s.
En general cuando la función x= f(t) se grafica, la velocidad vx en un instante arbitrario t= aqueda representada por la pendiente del grafico de la función en el punto de abscisa t= a. Ver fig. No. 2.

En particular cualquier movimiento que la rapidez v de la partícula no varia se denomina “uniforme”. Si, además, la trayectoria es recta, el movimiento se llama “rectilíneo uniforme”; y en este caso y solo en el, la velocidad v es constante.
L a ecuación posición-tiempo de un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo de un eje de referencia es necesariamente lineal (v = dx/dt = b). Esto también se infiere gráficamente, pues la grafica posición-tiempo es una recta, cuya pendiente representa ala velocidad vx. Ver figura No. 3.
El movimiento rectilíneo uniforme caracteriza a varios fenómenos físicos de gran interés. Por ejemplo, la luz y el sonido se propagan en línea recta y con rapidez constante en un medio homogéneo y las moléculas de un gas o los electrones libres de un metal se desplazan también con velocidad constante entre los choques que a cada momento experimentan. Por lo que respecta a la tecnología, el movimiento rectilíneo uniforme tieneaplicación en muy diversos mecanismos.
Cuando se logra observar detenidamente la caída vertical de un cuerpo dentro de un fluido, se percibe después de cierto tiempo que la velocidad ya no aumenta y el cuerpo adquiere, por lo tanto, un movimiento rectilíneo uniforme, sserá efectivamente así y en tal caso sCuál será la ecuación?. Posición-tiempo que describirá el movimiento uniforme observado. Para responder a estas y otras preguntas, realizaremos el siguiente experimento. Pero antes de atacarlo, el alumno tendrá que haber estudiado, además de esta introducción, los métodos de ajuste de rectas, también los métodos de calculo de los parámetros de la recta ajustada de nominados “de selección de puntos”, y de “mínimos cuadrados”.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

MATERIAL:
* Un tubo de vidrio de 2.40m de longitud, cerrado por un extremo y marcado cada 15cm.
* Una pelota de ping pong.
* Cronómetros con aproximación de 0.1s.

Suspéndase el tubo verticalmente, llénese de agua.
Suéltese la pelota dentro del líquido y justo cuando pase por la marca 0 póngase en marcha todos los cronómetros cuando una señal del alumno que depositó la pelota sea emitida.
Con el primer cronómetro tómese el tiempo que tarde la pelota en llegar a la próxima marca; con el segundo cronómetro el tiempo que alcance la siguiente marca y así sucesivamente.
Las posiciones y tiemposobservados deberán anotarse en una tabla en las unidades en que se leyeron.

| Y | TIEMPO (en segundos) |
| 0-1 | 78.864 |
| 1-2 | 129.983 |
| 2-3 | 174.204 |
| 3-4 | 212.941 |
| 4-5 | 248.173 |
| 5-6 | 279.341 |
| 6-7 | 308.732 |
| 7-8 | 336.582 |
| 8-9 | 362.911 |
| 9-10 | 388.163 |
| 10-11 | 411.797 |
| 11-12 | 434.965 |
| 12-13 | 458.200 |
| 13-14 | 480.707 |
| Y | X | XY | X2 |
| 15 | 78.864 |
| 30 | 129.983 |
| 45 | 174.204 |
| 60 | 212.941 |
| 75 | 248.173 |
| 90 | 279.341 |
| 105 | 308.732 | 32 416.86 | 95 315.44782 |
| 120 | 336.582 | 40 389.84 | 113 287.4427 |
| 135 | 362.911 | 48 992.985 | 131 704.3939 |
| 150 | 388.163 | 58 224.45 | 150 670.5146 |
| 165 | 411.797 | 67 946.505 | 169 576.7692 |
| 180 | 434.965 | 78 293.7 | 189 194.5512 |
| 195 | 458.200 | 89 349 | 209 947.24 |
| 210 | 480.707 | 100 948.47 | 231 079.2198 |
∑ | 1260 | 3182.057 | 516 561.81 | 1 290 775.579 |

a) ∑y = na + b∑x
b) ∑xy= a∑x + b∑x2

a. 1260 = 8a + 3182.057b
b. 516 561.81 = 3182.057 a + 1290 775.579b

(3182.057) 1260 = 8a + 3182.057b
(8) 516 561.81 = 3182.057 a + 1290 775.579b

-4 009 391.82 = 25 456.456 a + 10 125 486.75 b
4 132 494.48 = 25 456.456 a + 10 326 204.63 b
123 102.66 = 200 717.88 b
b = 123102.66 = 0.6133
200 717.88
SUSTITUIMOS PARA OBTENER a
a. 1260 = 8a + 3182.057(0.6133)
c. 1260 = 8a + 1 951.555558
a = 1260 – 1 951.555558 = - 86.44
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MÉTODO DE PROMEDIOS

105 = a + 308.732 b
120 = a + 336.582 b
135 = a + 362.911 b
150 = a + 388.163 b
510 = 4a + 1 396.388 b ---------- (1)

165 = a + 411.797 b
180 = a + 434.965 b
195 = a + 458.200 b
210 = a + 480.707 b
750 = 4a + 1 785.669 b ------------ (2)

(4) 510 = 4a + 1 396.388 b
(4) 750 = 4a + 1 785.669 b

-510 = 16a + 1 396.388 b
750 = 16a + 1 785.669 b
240 = 389.281 b
b = 240 = 0.61
389.281

SUSTITUIMOS PARA OBTENER a
510 = 4a + 1 396.388 (0.61)
510 = 4a + 851.79668

a = 510 – 851.79668 = - 85.44
4

Y = - 85.44 + 0.61 x
Resultados
1.- Anótese la forma genérica de la ecuación empírica obtenida, e indique los valores que tomaron sus constantes por el método de mínimos cuadrados:
y = - 85.44 + 0.61 x
2.- Anote la ecuación empírica completa. Señale el intervalo de validez de la ecuación.

La pendiente = dxdt = Vx = b es decir x= f(t) = a + bx
por lo tanto x = - 85.44 + 0.61 x
Intervalo de validez:
De 308.732 – 480.707

* cm=a+b*s.a = cm La distancia inicial, donde corta al eje de las y en la gráfica.

* [cm [cm] + b [s.]
b= [cm] - [cm] =cm Pendiente: velocidad de la pelota.
[s] s

El valor de a= -85.44, representa el intercepto en el eje y, que es la distancia al tiempo t=0. Su unidad de medida es en cm
El valor de b= 0.62, representa la pendiente que es la velocidad de la pelota. Su unidad de medida es en cm/s.



CUESTIONARIO
1. Determine la velocidad vy de la pelota en la etapa de movimiento uniforme e interprete físicamente el resultado, como se hizo en el ejemplo del automóvil.
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Y = - 85.44 + 0.61 x
Y= -85.44m + (0.61m/s) (t)
Vy= dydt= ddt-85.44+0.61t=0.61
Lo que significa que en cualquier instante considerado después de 105cm, la pelota llevará una velocidad de 0.61m/s en dirección hacia abajo, ya que presentará una caída vertical y su velocidad no variará, adquiriendo así el cuerpo un movimiento rectilíneo uniforme
2. En el instante t=0 la pelota pasó por la posición y=0, pero si resolvemos la ecuación empírica para t=0 obtenemos una posición muy distinta de cero
a. sSignifica esto que dicha ecuación no describe correctamente el fenómeno observado por lo tanto, no es válida? Es válida para un rango de valores que se comportan con un movimiento rectilíneo uniforme.b. sQué significa físicamente la constante a? La constante a representa la posición que habría tenido la pelota en el tiempo t=0 si durante todo el recorrido se hubiera presentado un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, sin cambio en la velocidad.
3. Analice la grafica posición tiempo
c. sDe qué signo es la pendiente para cualquier valor de la abscisa t? Positiva.
d. sQué información da el signo sobre el movimiento de la pelota? Que lleva una velocidad positiva.
e. sCómo varía el valor de la pendiente al ir creciendo la variable t? Se mantiene constante en el rango de valores obtenidos.
f. sQué información da tal variación sobre el movimiento de la pelota? El cambio de velocidad que podría adquirir.
4. El sistema de referencia utilizado en el experimento fue elegido arbitrariamente:
g. sQué ocurriría con el resultado del experimento si se utilizara un eje “y” dirigido verticalmente hacia arriba, sin cambiar la localización del origen? Se trataría de un tiro vertical y el valor de a sería positivo.
h. sSeguiría obteniéndose una ecuación lineal dentro del mismo intervalo de tiempo? No
i. sSus constantes a y b tendrían el mismo signo de antes? No
j. sLos gráficos físicos (acerca del movimiento) de los nuevos valores de a y b coincidirían con los valores primitivos? No
5. Sobreun cuerpo que está en reposo dentro de un fluido actúan fuerzas gravitacional o peso W, dirigida verticalmente hacia abajo, y el empuje hidrostático o de Arquímedes ԑ; dirigido verticalmente hacia arriba.
k. sQué relación tuvo que existir entre las magnitudes de dichas fuerzas para que la pelota se hundiera al colocarla en reposo dentro del agua? Que la fuerza de empuje sea menor a la fuerza gravitacional o al peso.
6. Sobre un cuerpo que se mueve dentro de un fluido actúan fuerzas de fricción fr opuesta al movimiento y de magnitud fr proporcional a su rapidez v (fr = γ v, en donde γ es una constante cuyo valor depende de la geometría del cuerpo y de la viscosidad del fluido, según la Ley de Stokes). Dibuje la pelota con las tres fuerzas que actuaron sobre ella durante la caída y conteste las siguiente preguntas:


l. sCómo varió cada una de las fuerzas desde que se inició la caída?
i. Fuerza de fricción: Aumenta, ya que la fuerza de fricción es directamente proporcional a la velocidad del objeto que en éste caso aumente conforme va avanzando.
ii. Empuje: Se mantiene constante porque la densidad del agua no cambia.
iii. Peso: Se mantiene constante porque en ningún momento varían las condiciones de la pelota.
m. De acuerdo a la 1° Ley de Newton,…, sEstuvo la pelota en equilibrio en alguna partede su trayectoria? Si.
n. sQué relación existió entre las magnitudes de las 3 fuerzas que actuaron sobre la pelota cuando estuvo en equilibrio? Se cancelaron las fuerzas.
7. Teóricamente se demuestre que la velocidad que alcanza finalmente una esfera que cae verticalmente dentro de un fluido se denomina “velocidad terminal” y tiene magnitud
Vt= (m-δV)g6nR
o. sPodría utilizarse el tubo usado en el experimento como viscosímetro de líquidos? Si.
p. sQué mediciones y cálculos tendrían que hacerse para determinar la viscosidad del líquido que se colocará en el tubo? Medir el tiempo que tarda en pasar entre dos marcas.
q. sSe podrá usar la misma esfera para todos los líquidos problema? Mientras las densidades sean diferentes.

CONCLUSIONES
En la caída amortiguada se pueden percibir dos movimientos, el primero es la caída vertical de un cuerpo, que, dentro de un fluido después de cierto tiempo se percibe (al graficar) que la velocidad ya no aumenta (es constante) y el cuerpo adquiere, por lo tanto, un movimiento rectilíneo uniforme, al determinar Vx, ésta es igual a la pendiente, por lo que la hipótesis planteada es verídica.
BIBLIOGRAFÍA
Resnik, Halliday. (1970). “Física, Parte I”. Editorial CECSA. 1° ed. En Español de la 2° ed. En Inglés.
Orear Jay. (1970). “Física Fundamental”. Editorial Limusa. 2° edición.