CAMPOS ELÉCTRICOS
DEFINICION
El campo eléctrico es una perturbación que modifica el espacio que lo rodea..
(dicho campo puede serproveniente por ej. de una carga puntual).Se considera un
ente físico no visible, pero si medible, y se lo modeliza matemáticamente como el vector campo
eléctrico.. que se define como
la relación entre la Fuerza Coulombiana que experimenta una carga testigo y el
valor de la carga testigo(una carga testigo positiva). La definición más intuitiva
acerca del
campo eléctrico se la puede estudiar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una
vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en
reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una
definición más formal y completa acerca del
campo requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima
acción. A continuación se describen ambas.
Definición mediante la ley de Coulomb
Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es
sometida a una fuerza en dirección radial por una distribución de
carga λ en forma de diferencial de línea (dL), lo que produce un
campo eléctrico .
Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos
cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente
es igual a:1
Donde:
es la permitividad eléctrica del vacío tiene que ver con el sistema
internacional,
son las cargas que interactúan,
es la distancia entre ambas cargas,
, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.
y es el unitario en la dirección . Nótese que en la
fórmula se está usando ε0, esta es la permitividad en el vacío. Para calcular lainteracción en otro medio es necesario
cambiar la permitividad de dicho medio. (ε = εr.ε0)
La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante
dado, hace que su campo eléctrica afecte en el mismo instante a cualquier otra
carga. Ese tipo de interacciónes en las que el efecto sobre el resto de
partículas parece dependender sólo de la posición de la partícula causante sin
importar la distancia entre las partículas se denomina en física acción a
distancia. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente
por el propio Newton, experimentos más cuidados
a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar
dicha noción como
no-realista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no sólo era un
artificio matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita
(la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea
conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de
la teoría de la relatividad y dotar de entidad física al campo
eléctrico.1 Así, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que
sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede
obtener una expresión del campo eléctrico
cuando este sólo depende de la distancia entre las cargas:
Donde claramente se tiene que, F=q*E la que es una de las definiciones más
conocidas acerca del
campo eléctrico.
Definición formal
La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas
moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge apartir de calcular
la acción de una partícula cargada en movimiento a través de
un campo electromagnético.2 Este campo forma parte de un único campo
electromagnético tensorial Fμν definido por un potencial
cuadrivectorial de la forma:
(1)
Donde φ es el potencial escalar y es
el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo
al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento
en un espacio cuadridimensional:
(2)
Donde e es la carga de la partícula, m es
su masa y c la velocidad de la luz. Reemplazando (1)
en (2) y conociendo que dxi = uids, donde dxies el
diferencial de la posición definida dxi =
(cdt,dx,dy,dz) y ui es la velocidad de la partícula, se obtiene:
(3)
El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del
sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el
momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de
Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de
movimiento de la partícula es:
(4)
De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros
términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el
último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo
eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición
más general para el campo eléctrico:2
(5)
La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer
término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de
un potencialvectorial descrito como donde es el campo
magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del
campo como el gradiente de un potencial.2
-------- ----- ------ ----- ----- ------
Descripción del campo eléctrico
Matemáticamente un campo se lo describe mediante dos de sus
propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la
divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de
Gauss y la de su rotacional es la ley de Faraday.
Ley de Gauss
Para conocer una de las propiedades del
campo eléctrico se estudia que ocurre con el flujo de éste al atravesar una
superficie. El flujo de un campo Φ se lo obtiene de la siguiente
manera:
(8)
Donde es el diferencial de área en dirección normal a la superficie.
Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una
superficie cerrada se encuentra que:
(9)
Donde Qenc es la carga encerrada en esa superficie. La
ecuación (9) es conocida como
la ley integral de Gauss y su forma derivada es:
(10)
Donde ρ es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el
campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que
el campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.
Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de campo. Si se
tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría dirigido hacia la otra
carga.
Ley de Faraday
En 1801, Michael Faraday realizó una serie de experimentos que lo llevaron a
determinar que los cambios temporales en el campo magnéticoinducen un campo
eléctrico. Esto se conoce como
la ley de Faraday. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a
través de un diferencial de línea está determinado por:
(11)
Donde el signo menos indica la Ley de Lenz y Φ es el
flujo magnético en una superficie, determinada por:
(12)
Reemplazando (12) en (11) se obtiene la ecuación integral de la ley de Faraday:
(13)
Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial:
(14)
La ecuación (14) completa la descripción del campo eléctrico, indicando que la
variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico.
Campo electrostático (cargas en reposo)
Un caso especial del
campo eléctrico es el denominado electrostático. Un campo electrostático no
depende del
tiempo, es decir es estacionario. Para este
tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a que esta no tiene
ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser
modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuación (13) y
(14) no tiene sentido, por lo que se anula:
(15)
Esta ecuación junto con (10) definen un campo electrostático. Además, por
el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede
ser descrito mediante el gradiente de una función escalar V, conocida como potencial eléctrico:
(16)
La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo eléctrico es
cero, sepuede aplicar el principio de superposición a este tipo de
campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la suma vectorial de sus campos
individuales:
(17)
entonces
(18)
Líneas de campo
Líneas de campo eléctrico correspondientes a cargas iguales y opuestas,
respectivamente.
Un campo eléctrico estático puede ser representado geométricamente con líneas
tales que en cada punto el campo vectorial sea tangente a dichas
líneas, a estas líneas se las conoce como
'líneas de campo'. Matemáticamente las líneas de campo son
las curvas integrales del
campo vectorial. Las líneas de campo se utilizan para crear una representación
gráfica del campo, y pueden ser tantas como sea necesario
visualizar.
Las líneas de campo son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo, de manera que su tangente geométrica en un
punto coincide con la dirección del
campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss, es
decir encontramos que la mayor variación direccional en el campo se dirige
perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los que el campo eléctrico
es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce como superficies equipotenciales, son
aquellas donde el potencial tiene el mismo valor numérico. En el caso estático
al ser el campo eléctrico un campo irrotacional las líneas de campo nunca serán
cerradas (cosa que sí puede suceder en el caso dinámico, donde
el rotacional del campo eléctrico es igual a la variación temporal
del campo magnéticocambiada de signo, por tanto una línea de campo eléctrico
cerrado requiere un campo magnético variable, cosa imposible en el caso
estático).
En el caso dinámico pueden definirse igualmente las líneas sólo que el patrón
de líneas variará de un instante a otro del
tiempo, es decir, las líneas de campo al igual que las cargas serán móviles.
Campo electrodinámico (movimiento uniforme)
El campo eléctrico creado por una carga puntual
presenta isotropía espacial, en cambio, el campo creado por una carga
en movimiento tiene un campo más intenso en el plano perpendicular a la
velocidad de acuerdo a las predicciones de la teoría de la relatividad.
Esto sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que se
mueve con velocidad uniforme la distancia en la dirección del movimiento de la
carga serán menores que las medidas por un observador en reposo respecto a la
carga, por efecto de la contracción de Lorentz, suponiendo que la carga se
mueve a lo largo del eje X de observador tendríamos la siguiente relación de coornadas
entre lo medido por el observador en movimiento respecto a la
carga y el observador en reposo respecto a la carga :
Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, así la
distancia efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a
la carga cumplirá que:
Y por tanto el campo eléctrico medido por un observador en movimiento respecto
a la carga será:
(19)
Donde es el ángulo formado por el vector de posición del punto donde
se mide el campo (respecto a lacarga) y la velocidad del movimiento. De esta
última expresión se observa que si se considera una esfera de
radio r alrededor de la carga el campo es más intenso en el
'ecuador', tomando como polos norte y sur la intersección de la
esfera con la trayectoria de la partícula, puede verse que el campo sobre la
esfera varía entre un máximo y un mínimo dados por:
(20)
Esta pérdida de simetría esférica es poco notoria para velocidades
pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada
a velocidades cercanas a la luz.
Campo electrodinámico (movimiento acelerado)
El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica
notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si además de un
movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a
un observador inercial. A partir de los potenciales de
Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en
movimiento viene dado por:
(21)
El primer miembro sólo depende de la velocidad y coincide con el campo
eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias
varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R2 y, por
tanto, no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la
aceleración y tiene una variación 1/R que representa la intensidad
decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que las
cargas en movimiento acelerado emiten radiación.
Energía del campo eléctrico
Un campo en general almacena y mueve energía. La densidad volumétrica de
energía de uncampo eléctrico está dada por la expresión siguiente:
(22)
Por lo que la energía total en un volumen V está dada por:
(23)
Donde dV es el diferencial de volumen.
EJERCICIOS
1.- Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran
situadas en el plano XY en los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando
las distancias expresadas en metros.
a) sEn qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?
b) sCuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto
(l,O) al punto (-1,0)?
Solución:
La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre sí
180s. En los puntos situados fuera del
segmento que une las cargas, segmento AB, el campo no puede anularse pues los
campos forman ángulos distintos de 180 s. Sólo puede anularse en el segmento
AB.
Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la
carga, para que los dos campos sean iguales y opuestos sólo puede suceder en el
punto medio del segmento, en este caso el origen de coordenadas (0,0). Si se desea
comprobar analíticamente, consideremos un punto genérico del segmento de
coordenadas (x,0) y determinemos x para que el campo sea nulo:
Campo creado en P por la carga situada en A: E = K. q
/(5+x)2
Campo creado en P por la carga situada en B: E = K. q
/(5-x)2
Los dos campos deben ser iguales en módulo para que su suma vectorial de campo
nulo:
K. q /(5+x)2 = K.
q/(5-x)2 ï‚® (5+x)2 =
(5-x)2 ï‚® x = 0
El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto
de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este
caso la carga es la unidad el trabajo coincide con la d.d.p.; como el potencial
depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas iguales y las
posiciones relativas de los puntos, con relación a las cargas, iguales, los
potenciales son iguales y por tanto el trabajo es nulo:
W = q. ( V1 - V2 )
V1 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 .
2.10-3 .( 1 /4 + 1 /6) = 7'5.106 Voltios
V2 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 .
2.10-3 .( 1 /6 + 1 /4) = 7'5.106 Voltios
V1 - V2 = 7'5.106 - 7'5.106 =
0 ï‚® W = 0 Julios
2.- Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas
coordenadas, expresadas en cm, son:
A (0,2) , B (-3, -1) , C
(3, -1)
Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son iguales a 2 ïC
y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas (centro del triángulo) es
nulo. Determinar:
a) El valor de la carga situada en el vértice A
b) El potencial en el origen de coordenadas
Solución:
El campo eléctrico a una distancia r de una carga es :
E = [K.Q / r2].u
siendo u el vector unitario en el sentido de la carga al punto
Si el triángulo es equilátero el centro del mismo equidista de los vértices,
por lo que el valor de r es el mismo para las tres cargas. Al mismo tiempo los
sentidos de los tres campos en el centro del
triángulo forman 120s.
Si el campo total esnulo, si el centro equidista de los vértices y si los
campos forman 120s, las tres cargas deben ser iguales; por tanto el valor de la
carga situada en el vértice A es de + 2 ïC
El potencial en el centro del triángulo será la suma de los potenciales creados
por cada carga:
VO = VO,A + VO,B + VO,C
El potencial en un punto debido a una carga es una magnitud escalar de valor:
V = K.Q / r
Al tener cada vértice la misma carga, al tener r el mismo valor para cada
carga, se deduce que los potenciales creados por cada carga son iguales y de
valor:
VO,A = VO,B = VO,C = K. Q / r = 9.109 .2.10-6 /
0'02 = 900 000 Voltios
VO = 3 . 900000 = 2 700 000 Voltios
Nota: Con los datos de las coordenadas se puede deducir que el triángulo
es equilátero y que el centro del triángulo coincide con el centro de
coordenadas, por lo que estos datos son redundantes.
3.- Calcular el campo y el potencial eléctrico producido por un anillo
conductor de radio R cargado con una carga Q, en un punto de su eje
perpendicular.
Consideremos un elemento del
anillo formado por un arco de apertura dï± . El valor de ese arco será:
dL = R. dï±
y la carga que contiene será:
dq = Q. dL /(2.ï°.R) = Q. dï± /(2.ï°)
El campo creado por este elemento de carga en un punto z del eje perpendicular
es:
dE = k. dq / r2 = k. Q. dï± /(2.ï°. r2)
Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y
otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la
componente producida por un elemento de carga situado en laposición simétrica
en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z:
dEz = dE . sen ït = [ k. Q. dï± /(2.ï°. r2) ]. (z
/ r) = k. Q. z. dï± /(2.ï°. r3)
El campo total producido por el anillo será la integral respecto a ï± entre
0 y 2.ï° :
Ez =  dEz = ïƒµï‚ k. Q. z. dï± /(2.ï°.
r3) = k. Q. z / r3 = k. Q. z / (z2 + R2)3/2
El potencial creado por el elemento de anillo será:
dVz = k. dq /r = k. Q. dï± /(2.ï°. r)
El potencial total se obtiene integrando la expresión anterior:
Vz = k. Q. dï± /(2.ï°. r) = k. Q / r = k. Q /
(z2 + R2)1/2
4.- Dos esferas de 25 gramos están cargadas con idéntica carga eléctrica y
cuelgan de dos hilos inextensibles y sin masa de 80 cm de longitud, suspendidos
del mismo punto. Los hilos forman 45s con la vertical. Calcular la carga de
cada esfera y la tensión del hilo.
La fuerza F que separa las cargas se debe a la repulsión electrostática, pues
ambas son del
mismo signo.
F = k. q2 / x2
x = 2. a. sen (q /2)
Si están en equilibrio la suma de la fuerza electrostática y el peso debe tener
la dirección de la cuerda:
tg (q /2) = F /p
ï‚® F =
p. tg (q /2)
k. q2 / x2 = m.g. tg
(q /2) ï‚®
q2 = m. g. x2 .tg (q /2) / k
q =2.a.sen (q /2).[ m. g..tg (q /2) / k]1/2 =2. 0'8.
sen 45 .[25.10-3.9'8 .tg45 /9.109 ]1/2 = 5'9.10-6 C
F = 9.109 . (5'9.10-6)2 / (2.0'8.sen45)2 = 0'245 N
La tensión del hilo será:
T = R = p / cos(q /2) = 25.10-3 .9'8 / cos45 = 0'35 N
5.- En tres vértices de un cuadrado de 40 cm de lado se han situado cargas
eléctricas de +125 m C. Determinarel campo eléctrico en el
cuarto vértice y el trabajo necesario para trasladar una carga de -
10 m C desde ese vértice al centro del cuadrado.
El campo producido en D será la suma vectorial de los campos creados por cada
carga:
EC = EA = k.q / a2
EB = k. q / (a2 + a2)
El campo resultante tendrá la dirección y sentido de EB y valdrá:
E = EB + (EA2 + EC2)1/2 = k. q /(2.a2) + (2. k2. q2. /
a4)1/2
E = k. q. (1 / 2 + 21/2) / a2 = 9.109. 125.10-6. (1 / 2 + 21/2) /
0'42 = 1'35.107 N /C
El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro es la carga por la
d.d.p. entre los puntos:
El potencial en un punto es la suma de los potenciales creados por cada carga:
V(D) = k. q / a + k . q. /a + k. q. /(a2 + a2)1/2 = + k. q. (2
+ 1 / 21/2) / a
V(D) = 9.109. 125.10-6. (2 + 1 /21/2) / 0'4 = 7613738 Voltios
V(O) = 3. k. q. /( a / 21/2) = 3. 9.109. 125.10-6. 21/2 / 0'4
= 11932427 Voltios
W = q' . (V(O) - V(D)) = - 10.10-6. ( 11932427 - 7613738 ) = 43'2 J
6.- Encuentre el campo electrico en el punto P de la figura, ubicado sobre el
eje y a 0.4 m sobre el origen, producido por las tres cargas puntuales que se
muestran. La carga q1 = 7C se ubica en el origen del
sistema de coordenadas, la carga q2 = -5 C se ubica en el eje x a 0.3 m
del origen y la carga q3 = -3C a la derecha del punto P y a 0.4 m sobre q2. Determine
además la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de 3x10-8C cuando se ubica
en el punto P.
SOLUCION:
Primero calculamos separadamente la magnitud del campo eléctrico en P debido a la
presencia decada carga. Llamemos E1 al campo eléctrico producido por q1,
E2 al campo eléctrico producido por q2 y E3 al campo eléctrico
producido por q3. Estos campos se representan en la figura y sus magnitudes
son:
El vector E1 no tiene componente x, sólo componente y (hacia arriba). El
vector E2 tiene una componente x dada por E2cos = (3/5)E2 y una
componente y negativa dada por -E2 sen = -4/5E2. El vector E3 no
tiene componente y, sólo componente x (hacia la derecha).
El vector resultante E que buscamos es la suma vectorial de estos tres
vectores,
E = E1 + E2 + E3
Los vectores E1, E2 y E3 conviene expresarlos usando vectores
unitarios i y jpara luego efectuar analíticamente su suma:
El campo eléctrico E resultante en P es entonces:
La fuerza eléctrica sobre una carga de 3x10-8C cuando ésta se coloca en el
punto P se obtiene simplemente usando F = Eq, con q =
3x10-8 C.
Esta fuerza tiene por supuesto la misma dirección que el campo
eléctrico E.
