Calculo del momento de inercia de un cuerpo

RESUMEN
El momento de inercia de un cuerpo es la magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo al cambiar su velocidad angular, con relación a un eje definido

Lo que se busca a través de este laboratorio es llegar a determinar en forma experimental el momento de inercia de un disco que tiene una varilla, para ello utilizamos un soporte, con un angulo determinado y que seran medidos cada 5 centímetros como cambia su momento de inercia

I. FUNDAMENTO

El momento de inercia o potencial es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo; o sea es una magnitud escalar que refleja la distribución de masa de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, con respecto al eje que gira.

El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.
El momento de inercia tiene como forma matematica lo siguiente


K= 12Iω2 (1)

Y las unidades del momento de inercia en el SI son Kg m2. Tiene una forma matematica semejante a la de laenergía cinética.

El momento de inercia es la medida de la resistencia que un cuerpo ofrece a los cambios en su movimiento rotacional, tal como la masa es una medida de la resistencia que un cuerpo ofrece a los cambios de movimiento de traslación.

La ecuación:

(2)

Muestra el momento de inercia, y en su consecuencia la energía cinética para un valor dado de w, es grade si la mayor parte de la masa del cuerpo esta a una gran distancia del eje de rotación. Esto es muy razonable: para el valor dado de w, las partículas que estan a gran distancia del eje se mueven con mayores rapideces y por tanto tienen energías cinéticas grandes.

II. METODO

Para el desarrollo del laboratorio, se utilizo los materiales e instrumentos siguientes

Tabla 1. Materiales e instrumentos
N | Descripción | Precisión |
1 | Riel para rueda | |
1 | Rueda de Maxwell | |
1 | Cronometro | |
1 | Barnier | 0.00005 m |
1 | Cinta métrica | 0.0005 m |
1 | Balanza digital | 0.0001 kg |

Para llevar a cabo el experimento, lo primero que tenemos que hacer es poner la rueda de maxwell sobre un placo inclinado, la cual girara por toda la rampa y por medio de las formulas de energía encontraremos el momento de inercia deseado.Figura 1 Rueda de Maxwell sobre un plano inclinado

Como hemos hablado para el calculo necesitaremos las ecuaciones de energía:

Epo= Ekr+Ekt+Ep (3)
Donde:
Epo = energía total inicial = 12Iω2+12mv2+mgh (4)

Ekr = energía cinética rotacional = 12Iω2 (5)

Ekt = energía cinética traslacional= 12mv2 (6)

Ep = energía potencial = mgh (7)

Si sabemos que:

v= ωr (8) y Epo=mgho (9)

Donde ho = altura inicial

Reemplazamos en la ecuación 4 y tendremos lo siguiente:

mgho= 12Ir2v2+12mv2+mgh (10)

Ademas de la Figura 1 sacamos que:

h-ho=dsenθ (11) y

v=2dt (12)

Se obtiene la siguiente ecuación al trabajar con las ecuaciones 4, 11 y 12.

d=mgsenθ2(Ir2+m)t2 (13)

III. DATOS

Tomamos las mediciones de la distancia y el tiempo recorrido, la cual se refleja en el siguiente cuadro.
Tabla 2. Distancia y tiempo recorrido por la rueda
n | d (m) | t (s) |
1 | 0.05 | 5.72 |
2 | 0.10 | 8.65 |
3 | 0.15 | 10.5 |
4 | 0.20 | 12.09 |
5 | 0.25 | 13.34 |
6 | 0.30 | 14.85 |
7 | 0.35 | 15.75 |
8 | 0.40 | 17.81 |
9 | 0.45 | 18.59 |Grafica 1 d vs t

Grafica 2 d vs t2

Constantes que se necesitaran para hallar el momento de inercia.

m = 0.3590 Kg
r = 0.0032 m
θ = 7.595°

IV. ANALISIS Y RESULTADOS

Después de repetir el experimento por 10 veces, obtuvimos la siguiente tabla:

Tabla 3 Mediciones
n | d (m) | t (s) | ln d | ln t |
1 | 0.05 | 5.72 | -2.99573227 | 1.74396881 |
2 | 0.1 | 8.65 | -2.30258509 | 2.15755932 |
3 | 0.15 | 10.5 | -1.89711998 | 2.35137526 |
4 | 0.2 | 12.09 | -1.60943791 | 2.49237866 |
5 | 0.25 | 13.34 | -1.38629436 | 2.59076704 |
6 | 0.3 | 14.85 | -1.2039728 | 2.69799987 |
7 | 0.35 | 15.75 | -1.04982212 | 2.75684037 |
8 | 0.4 | 17.81 | -0.91629073 | 2.8797601 |
9 | 0.45 | 18.59 | -0.7985077 | 2.9226238 |

Como podemos apreciar en la tabla 3 se encuentran los valores medidos con sus respectivos logaritmos, que nos permitiran llegar al valor del momento de inercia.

Grafica 3 ln d vs ln t

Como podemos observar en la grafica 1, la ecuación presente en ella, obedece a:

Y = Bx + A (14


Con la ayuda de la calculadora (Casio fx-82ES), obtenemos los valores de A y B respectivamente.

A = -6.3367
B = 1.8975

Y los errores cometidos en A y B durante la realización delexperimento son los siguientes respectivamente.

δA =δYδx(n)X'2N (15)

δA = 0.0477

δB =δYδx(n)N (16)

δB = 0.0188

De la ecuación 14 tenemos la ecuación empírica:

d=αtB (17)

lnd=lnα+Blnt (18)

lnd=A+Blnt (19)

Donde:

α=eA (23)

Por lo tanto:

α=mgsenθ2(Ir2+m) (24)

α= 0.0017

Y su error es:

δa=eAδA (25)

δa = 0.00009

Despejando la ecuación 24, tendremos lo siguiente:

I=r2mgsenθ2α-1 (26)

I= -3.672 x 10-6

Y su error del momento de inercia se calcula del siguiente modo:

δI = φIφm2δm2+φIφr2δr2+φIφa2δa2 (27)

Reemplazando algunos datos tenemos:

δI = r2gsenθ2α-12δm2+2rmgsenθ2α2δr2+-r2mgsenθ2α22δa2 (28)

δI =

V. CONCLUSIONES

* Se obtuvo -3.672 x 10-6 como valor de momento de inercia.
* Los resultados obtenidos tuvieron cierto margen de error debido a factores como las fuerzas de rozamiento que aunque eran despreciables incidieron en los resultados.

VI. BIBLIOGRAFIA

* https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia
* https://www. slideshare.net/tyronethebest/informe-de-momento-de-inercia